A curva de despesas de Engel relaciona as despesas de um consumidor com um bem a sua renda total. Sendo Y= despesas de consumo com um bem e X= renda do consumidor, considere os seguintes modelos:
\begin{aligned} & Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i} \\\ & Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i} \\\ & Y_{i}=\ln \beta_{1}+\beta_{2} \ln X_{i}+u_{i} \\\ & Y_{i}=\ln \beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i} \\\ & Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} \ln X_{i}+u_{i} \end{aligned}
Qual desse(s) modelo(s) você escolheria para representar a curva de despesas de Engel e por quê? (Dica: interprete os vários coeficientes angulares, descubra as expressões da elasticidade das despesas em relação à renda etc.)

Passo 1

O enunciado apresenta cinco equações candidatas que relacionam as despesas com um bem ( Y) à renda do consumidor ( X). O que é pedido: escolher qual(is) desses modelo(s) usar para representar a curva de Engel e justificar a escolha, interpretando os coeficientes angulares e calculando a elasticidade das despesas em relação à renda quando for pertinente.
Informações e itens dados:
  • Variável dependente: Y = despesas de consumo com um bem.
  • Variável explicativa: X = renda do consumidor.
  • Modelos listados: \begin{aligned} & (1)\quad Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i} \\\ & (2)\quad Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i} \\\ & (3)\quad Y_{i}=\ln \beta_{1}+\beta_{2} \ln X_{i}+u_{i} \\\ & (4)\quad Y_{i}=\ln \beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i} \\\ & (5)\quad Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} \ln X_{i}+u_{i} \end{aligned}
  • Requisito de interpretação: achar as expressões das elasticidades \varepsilon_{Y,X}=\dfrac{\partial Y}{\partial X}\cdot\dfrac{X}{Y} (quando fizer sentido) e interpretar o sinal, o comportamento com X e o que o coeficiente angular representa.
A partir daqui vou calcular, passo a passo, a interpretação de cada modelo (incluindo derivadas marginais e elasticidade), comparar formas e concluir qual(is) é(são) mais apropriada(s) para uma curva de Engel típica.

Passo 2

Modelo (1): \;Y=\beta_{1}+\beta_{2}X+u.
  • Derivada marginal (propensão marginal a consumir neste bem):
    \frac{\partial Y}{\partial X}=\beta_{2}.
    Interpretação: \beta_{2} é a variação absoluta nas despesas Y quando a renda X aumenta em uma unidade. É constante (não depende de X).
  • Elasticidade da despesa em relação à renda:
    \varepsilon_{Y,X}=\frac{\partial Y}{\partial X}\cdot\frac{X}{Y}=\beta_{2}\cdot\frac{X}{Y}.
    Interpretação: a elasticidade não é constante — depende da relação X/Y. Para pequenos níveis de renda (ou grande Y) a elasticidade pode ser pequena; para grandes X pode aumentar. Não há curvatura intrínseca além da linearidade: a curva de Engel aqui é reta (com inclinação \beta_2).
  • Conclusão didática sobre (1): é simples e fácil de estimar, mas força uma propensão marginal constante. Para muitos bens isso é pouco realista: frequentemente o acréscimo nas despesas com renda diminui (efeito de saturação) ou muda com o nível de renda.

Passo 3

Modelo (2): \;Y=\beta_{1}+\beta_{2}\frac{1}{X}+u.
  • Derivada marginal:
    \frac{\partial Y}{\partial X}=-\beta_{2}\frac{1}{X^{2}}.
    Interpretação: sinal da derivada depende de \beta_{2}. Se \beta_{2}>0 então \partial Y/\partial X<0: as despesas diminuem com renda (estranho para um bem normal); se \beta_{2}<0, então \partial Y/\partial X>0 e as despesas aumentam com renda, mas em ritmo que tende a zero quando X cresce porque 1/X\to0.
  • Elasticidade:
    \varepsilon_{Y,X}=\left(-\beta_{2}\frac{1}{X^{2}}\right)\cdot\frac{X}{Y}=-\frac{\beta_{2}}{X\,Y}.
    Interpretação: elasticidade varia com X e com Y; além disso, seu sinal é o oposto do sinal de \beta_{2}. Este modelo força Y a confluir para \beta_{1} quando X\to\infty (pois 1/X\to0), isto é, o gasto tende a um patamar horizontal \beta_1.
  • Conclusão didática sobre (2): adequado se se espera um teto superior para despesas com o bem (saturação absoluta), mas pouco natural para bens normais onde gasto continua a subir com renda sem necessariamente convergir para um valor fixo. Além disso, a possibilidade de sinal negativo para \partial Y/\partial X quando \beta_2>0 torna interpretação confusa.

Passo 4

Modelo (3): \;Y=\ln\beta_{1}+\beta_{2}\ln X+u.
Observação prévia: \ln\beta_{1} é apenas um intercepto constante (assumindo \beta_{1}>0), por isso este modelo tem a mesma forma funcional que o modelo (5) — isto é, é do tipo constante + coeficiente vezes \ln X. Vamos tratá‑lo algebraicamente.
  • Derivada marginal:
    \frac{\partial Y}{\partial X}=\beta_{2}\cdot\frac{1}{X}.
    Interpretação: a derivada é positiva se \beta_{2}>0 e decresce com X (efeito de rendimentos decrescentes da renda sobre o gasto).
  • Elasticidade:
    \varepsilon_{Y,X}=\left(\beta_{2}\frac{1}{X}\right)\cdot\frac{X}{Y}=\frac{\beta_{2}}{Y}.
    Interpretação: a elasticidade depende inversamente de Y. Não é uma elasticidade constante em termos de X, mas ela diminui à medida que o gasto Y aumenta.
  • Observação prática: este modelo é numericamente idêntico ao modelo (5) exceto pela notação do intercepto ( \ln\beta_{1} vs \beta_{1}); portanto as implicações de curvatura são as mesmas do modelo semi‑log.

Passo 5

Modelo (4): \;Y=\ln\beta_{1}+\beta_{2}\frac{1}{X}+u.
  • Derivada marginal:
    \frac{\partial Y}{\partial X}=-\beta_{2}\frac{1}{X^{2}}.
    (mesmo comportamento do modelo (2) em relação à inclinação)
  • Elasticidade:
    \varepsilon_{Y,X}=-\frac{\beta_{2}}{X\,Y}.
    (idem ao modelo (2) para a expressão da elasticidade)
  • Conclusão didática sobre (4): mesmas vantagens/desvantagens do modelo (2); apenas o intercepto é rotulado como \ln\beta_1. O modelo força um limite horizontal para Y quando X cresce.

Passo 6

Modelo (5): \;Y=\beta_{1}+\beta_{2}\ln X+u.
  • Derivada marginal:
    \frac{\partial Y}{\partial X}=\beta_{2}\frac{1}{X}.
    Interpretação: se \beta_{2}>0, as despesas aumentam com renda, mas a taxa marginal de aumento cai com X (efeito de diminuição da propensão marginal).
  • Elasticidade:
    \varepsilon_{Y,X}=\left(\beta_{2}\frac{1}{X}\right)\cdot\frac{X}{Y}=\frac{\beta_{2}}{Y}.
    Interpretação: elasticidade decresce com o aumento de Y. O efeito prático: para baixos níveis de X (e portanto de Y), uma variação percentual na renda causa um aumento absoluto maior em Y do que para renda já alta.
  • Observação técnica: os modelos (3) e (5) têm a mesma forma matemática em termos de dependência funcional em \ln X e implicações sobre curvatura; apenas a notação do intercepto muda.

Passo 7

Comparação entre os cinco modelos (formas e plausibilidade para curva de Engel)
  • Modelo (1) — linear em X:
    • Vantagem: simples, interpretação direta da propensão marginal ( \beta_2).
    • Desvantagem: propensão marginal constante; não captura natural diminuição do acréscimo de gasto conforme a renda cresce (curvatura ausente).
  • Modelos (2) e (4) — terminais em 1/X:
    • Vantagem: geram curvatura forte e um limite assintótico para Y à medida que X\to\infty.
    • Desvantagem: podem implicar comportamento não plausível (despesas decrescentes com renda se \beta_2>0); além disso, impõem convergência a um teto fixo \beta_1, o que nem sempre é razoável.
  • Modelos (3) e (5) — dependência em \ln X (semi‑log):
    • Vantagem: introduzem curvatura suave: a derivada \partial Y/\partial X=\beta_2/X é positiva e decrescente em X (se \beta_2>0). Isso captura a intuição de que o acréscimo em gastos com um aumento na renda é maior quando a renda é baixa e menor quando a renda é alta — comportamento típico observado nas curvas de Engel para muitos bens.
    • Elasticidade não é constante, mas decresce com Y, o que é compatível com bens cuja proporção do gasto em relação à renda cai com renda (bens essenciais).
    • Interpretação prática do coeficiente: \beta_2 mede a sensibilidade absoluta de Y à variação percentual de X numa unidade de logaritmo: um aumento de 1\% em X gera aproximadamente um aumento de \beta_2/100 unidades em Y (para pequenas variações percentuais, mais formal seria usar diferenciais ou aproximar \Delta \ln X).
  • Modelo log‑log (não listado explicitamente, mas clássico): \ln Y=\ln\beta_{1}+\beta_{2}\ln X+u.
    • Vantagem: elasticidade constante igual a \beta_2, interpretável diretamente como elasticidade-renda das despesas. Se a elasticidade for aproximadamente constante ao longo da faixa de renda estudada, esse modelo é ótimo.
    • Desvantagem: elasticidade constante é forte e às vezes irreal quando ela varia com o nível de renda.

Passo 8

Recomendação prática (resumida e aplicada ao objetivo de representar curva de Engel)
  • Se na prática espera-se que a elasticidade despesa‑renda seja aproximadamente constante ao longo da faixa de renda da amostra, então o modelo log‑log (ou seja, \ln Y=\ln\beta_{1}+\beta_{2}\ln X) é natural porque \beta_{2} é diretamente a elasticidade. Observação: esse modelo não estava explicitamente com \ln Y no enunciado, portanto, se for possível transformar Y, esse é um candidato forte.
  • Se espera-se que o gasto aumente com renda mas com taxa marginal decrescente (curva côncava típica: mais renda dá mais gasto, porém cada unidade adicional de renda acrescenta menos gasto do que a anterior), então os modelos com \ln X no lado direito — ou seja (3) e (5) na listagem — são os melhores candidatos entre os cinco apresentados. Eles produzem \partial Y/\partial X=\beta_{2}/X>0 (para \beta_{2}>0) e saturação do incremento marginal, o que é comportamento frequentemente observado em curvas de Engel.
  • Evitaria os modelos com 1/X (modelos (2) e (4)) salvo se houver argumento teórico claro de que as despesas convergem a um teto e que a função 1/X especifica bem esse teto. Eles podem produzir interpretações estranhas (possibilidade de despesa decrescente em função da renda dependendo do sinal de \beta_2).
  • O modelo linear em X (1) pode ser usado como baseline/benchmark por sua simplicidade, mas é menos flexível e pode falhar em capturar a curvatura típica da curva de Engel.

Passo 9

Como proceder na prática ao estimar e escolher entre as formas (passos úteis para hora da prova ou na análise empírica)
  • Estimar os modelos candidatos (pelo menos: linear (1), semi‑log (5) e, se desejado, log‑log com \ln Y).
  • Comparar ajustes (R^2, RMSE) e checar validade econômica dos sinais/valores dos coeficientes (por exemplo, \beta_2>0 para bens normais).
  • Fazer exame gráfico: plotar Y vs X e também suavizados locais; a forma observada sugere curvatura.
  • Verificar resíduos, heterocedasticidade e transformações (por exemplo, usar \ln Y se variância cresce com nível de Y).
  • Escolher o modelo que combina boa aderência aos dados e interpretação econômica plausível (parsimônia + coerência teórica).

Resposta

Escolheria preferencialmente os modelos que têm \ln X no lado direito — ou seja, os modelos (3) e (5) da lista (sendo que eles são estruturalmente equivalentes quanto à dependência funcional em \ln X) — porque eles geram uma curva de Engel crescente com renda mas com taxa marginal decrescente ( \partial Y/\partial X=\beta_{2}/X), comportamento frequentemente observado empiricamente.
Como alternativa, se a hipótese for de elasticidade-renda constante, usar a forma log‑log (transformar Y: \ln Y=\ln\beta_{1}+\beta_{2}\ln X) é apropriado, pois aí \beta_{2} é a elasticidade direta.
Evitaria os modelos com 1/X ((2) e (4)) salvo justificativa teórica forte, e o modelo puramente linear em X ((1)) apenas como referência simplista.

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