Considere os seguintes sinais exponenciais: f_{1}(t)=e^{-t}, f_{2}(t)=e^{-2 t} e f_{3}(t)=e^{-3 t}. Compare estes sinais, discutindo as diferenças na
velocidade de caimento (ou seja, na convergência para \lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)= 0 . Qual a proporção entre o coeficiente a (do termo e^{a t} ) e a velocidade de caimento destes sinais?

Passo 1

Temos três sinais exponenciais \;f_{1}(t)=e^{-t},\;f_{2}(t)=e^{-2t} e \;f_{3}(t)=e^{-3t}
e queremos comparar a rapidez com que cada um tende a zero quando t\to+\infty. Esse conteúdo envolve o conceito de constante de tempo e de velocidade de decaimento de um decaimento exponencial.

Passo 2

Para um sinal genérico \;f(t)=e^{a\,t} com a<0, definimos a constante de tempo
\tau = -\frac{1}{a}
que é o tempo necessário para f(t) cair de 1 a 1/e. A velocidade de decaimento pode ser definida como o inverso dessa constante de tempo, ou seja
v = \frac{1}{\tau} = -a.
Logo, quanto maior -a, mais rápido o sinal decai.

Passo 3

Aplicando a cada caso:
  • Para \,f_{1}(t)=e^{-t}, temos a=-1.
\tau_{1}=-\frac{1}{-1}=1,\quad v_{1}=-(-1)=1.
  • Para \,f_{2}(t)=e^{-2t}, temos a=-2.
\tau_{2}=-\frac{1}{-2}=\tfrac12,\quad v_{2}=-(-2)=2.
  • Para \,f_{3}(t)=e^{-3t}, temos a=-3.
\tau_{3}=-\frac{1}{-3}=\tfrac13,\quad v_{3}=-(-3)=3.

Passo 4

Concluímos que quanto maior o valor absoluto de a, mais rápido é o decaimento. As velocidades relativas são
v_{1}:v_{2}:v_{3}=1:2:3.
Ou seja, a velocidade de decaimento é proporcional a \lvert a\rvert, ou simplesmente a -a quando a<0.

Resposta

A velocidade de decaimento de e^{a t} é proporcional a -a. Para os sinais dados, as velocidades são 1,2 e 3, respectivamente, com razão 1:2:3.

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