Expresse o degrau unitário discreto em função do impulso unitário discreto e vice-versa, ou seja, encontre expressões \mathbf{1}(k)=f(\Delta(\cdot)) e \Delta(k)=g(\mathbf{1}(\cdot)). Dica: você pode somar, ou subtrair, e deslocar os sinais para a esquerda e para a direita.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o degrau unitário discreto \mathbf{1}(k) em função do impulso unitário discreto \Delta(k) e vice-versa. Esse é um conteúdo de sinais e sistemas em tempo discreto, onde usamos a propriedade de que qualquer sequência pode ser decomposta em impulsos deslocados e que o impulso é a primeira diferença do degrau.

Passo 2

Para obter \mathbf{1}(k) a partir de impulsos, lembramos que cada impulso em n contribui com valor 1 a todos os instantes k\ge n. Logo, somando todos os impulsos até k temos
\mathbf{1}(k) \;=\;\sum_{n=-\infty}^{k}\Delta(n).

Passo 3

Para obter o impulso a partir do degrau, notamos que a única forma de criar um pico unitário em k=0 é computar a diferença entre o degrau e o mesmo degrau atrasado em uma amostra. Assim
\Delta(k) \;=\;\mathbf{1}(k)\;-\;\mathbf{1}(k-1).

Resposta

\displaystyle \mathbf{1}(k)=\sum_{n=-\infty}^{k}\Delta(n) \displaystyle \Delta(k)=\mathbf{1}(k)-\mathbf{1}(k-1)

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