Considere que seja inserido uma carga no seu eixo do motor, o torque da carga (tcarga) excederá o torque induzido (tind) e o motor começará a perder velocidade. Quais os passos que o motor CC terá para que tind = tcarga.

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever, passo a passo, o que acontece com um motor CC quando é aplicada uma carga no eixo tal que o torque da carga ( t_{carga}) excede o torque eletromagnético instantâneo (induzido) do motor ( t_{ind}), até que o motor alcance uma nova situação em que t_{ind}=t_{carga}.
Informações relevantes (fornecidas ou que precisamos considerar para a explicação):
  • Foi informado que inicialmente vale t_{carga} > t_{ind} e que o motor começa a perder velocidade.
  • Parâmetros típicos do motor que usaremos na explicação (não numéricos, apenas simbólicos): tensão de alimentação V, resistência do indutor/armadura R_a, indutância do circuito de armadura L_a, constante de torque k_t, constante de força contra-eletromotriz (back-EMF) k_e, momento de inércia do rotor J e coeficiente de atrito viscoso B.
  • A pergunta é conceitual/prático: quais etapas físicas e elétricas ocorrem até que o torque induzido iguale o torque de carga.

Passo 2

Equação do movimento (física do rotor): explique e escreva a equação que relaciona torques e aceleração angular.
A lei do movimento do rotor é a segunda lei de Newton rotacional, que diz que a soma dos torques resulta em aceleração angular do conjunto. Escrevemos:
J\frac{d\omega}{dt}=t_{ind}-t_{carga}-B\omega
onde
  • J é o momento de inércia (como “massa rotacional”),
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • t_{ind} é o torque eletromagnético produzido pelo motor,
  • t_{carga} é o torque externo de carga (resistivo),
  • B\omega é o torque de atrito viscoso aproximado (opcional, mas útil para realismo).
Interpretação simples: se t_{ind}-t_{carga}-B\omega<0, então \frac{d\omega}{dt}<0 e o motor desacelera — exatamente o que acontece quando t_{carga}>t_{ind}.

Passo 3

Back-EMF (força contra-eletromotriz) e sua relação com a velocidade: conceito e fórmula.
Ao girar, o motor gera uma tensão contrária ao sentido da alimentação que chamamos de back-EMF. Essa tensão é proporcional à velocidade:
E_b = k_e \,\omega
onde k_e é a constante de back-EMF (unidades V·s/rad ou V/(rad/s)). Quanto menor a velocidade \omega, menor será E_b. Esse E_b aparece na equação elétrica do circuito de armadura.

Passo 4

Equação elétrica do circuito da armadura e o efeito da redução de E_b.
A equação elétrica (com indutância) da armadura é:
L_a\frac{dI_a}{dt} + R_a I_a + E_b = V
onde
  • I_a é a corrente da armadura,
  • L_a é a indutância da armadura,
  • R_a é a resistência da armadura,
  • V é a tensão de alimentação.
Interpretação: se a velocidade cai, E_b diminui; então, para manter a igualdade, o termo R_a I_a tende a aumentar (ou seja, I_a aumenta), inicialmente limitado pela indutância L_a (que evita variação instantânea de corrente).

Passo 5

Relação corrente — torque: como o aumento de corrente faz o torque subir.
O torque eletromagnético é (em motores CC lineares):
t_{ind} = k_t I_a
onde k_t é a constante de torque (N·m/A). Assim, quando a velocidade cai e E_b cai, a tensão efetiva V-E_b sobre a resistência faz I_a subir (dependendo de L_a no transiente). Esse aumento de I_a eleva t_{ind}. É essa elevação de torque que tenta equilibrar t_{carga}.

Passo 6

Sequência dinâmica qualitativa (resumida): o que ocorre no tempo, passo a passo
  1. Após aplicar a carga, inicialmente t_{carga}>t_{ind}.
  2. Resultado imediato: \frac{d\omega}{dt}<0 e o rotor começa a desacelerar (velocidade \omega diminui).
  3. Com \omega menor, E_b=k_e\omega diminui.
  4. A queda de E_b aumenta a tensão líquida V-E_b sobre R_a, então I_a aumenta (transiente limitado por L_a). No instante muito inicial pode haver um pico de corrente; depois a corrente tende a um novo valor mais alto.
  5. O aumento de I_a eleva t_{ind}=k_t I_a.
  6. À medida que t_{ind} cresce, a diferença t_{ind}-t_{carga} tende a zero; quando ficam iguais, a aceleração para e alcança-se uma nova velocidade de equilíbrio (ou o motor trava, ver passo seguinte).
    Em palavras: o motor reduz velocidade até que a redução de back-EMF permita corrente suficiente para gerar o torque requerido pela carga.

Passo 7

Valores de regime permanente: como calcular a velocidade final e a corrente final (passo a passo com fórmulas)
No regime estacionário (transientes nulos: \frac{d\omega}{dt}=0 e \frac{dI_a}{dt}=0):
  • equilíbrio de torques:
t_{ind}=t_{carga}\quad\Rightarrow\quad I_a=\frac{t_{carga}}{k_t}.
  • equilíbrio elétrico (sem variação): \;R_a I_a + E_b = V, logo
E_b = V - R_a I_a = V - R_a\frac{t_{carga}}{k_t}.
  • usando E_b=k_e\omega_{ss}, obtemos a velocidade de regime:
\omega_{ss}=\frac{E_b}{k_e}=\frac{1}{k_e}\left(V - R_a\frac{t_{carga}}{k_t}\right).
Explicando cada termo: \omega_{ss} é a velocidade angular em regime; se t_{carga} aumenta, a segunda parcela cresce e \omega_{ss} diminui — faz sentido físico.

Passo 8

Condição de possibilidade e limite (quando o motor não consegue igualar o torque)
A corrente máxima estacionária possível sem aumentar V é a corrente de estol aproximada I_{stall}=V/R_a (considerando \omega=0 e L_a suficiente para transientes). O torque máximo correspondente é
t_{stall}=k_t\frac{V}{R_a}.
Se t_{carga} > t_{stall}, o motor não consegue gerar torque suficiente: ele irá decelerar até parar (ou até que algum limite térmico/proteção intervenha) — isto é, ocorre o estol (stall). Portanto a condição de sucesso é:
t_{carga} \le \frac{k_t V}{R_a}.

Passo 9

Transientes e constantes de tempo (prático — como se desenrola no tempo)
  • A resposta elétrica tem uma constante de tempo \tau_e = \frac{L_a}{R_a}: controla quão rápido a corrente reage (pico inicial limitado por L_a). Geralmente \tau_e é pequeno (resposta rápida).
  • A resposta mecânica tem uma constante de tempo característica \tau_m. Uma forma aproximada (quando se leva em conta o acoplamento elétrico) é \tau_m \sim \frac{J}{B + k_t k_e / R_a}. Isso mostra que a inércia J e o amortecimento efetivo definem quão rápido a velocidade muda; normalmente a mecânica é mais lenta que a elétrica.
  • Na prática: a corrente sobe rápido (milissegundos a deca em elétrico), o torque cresce, e a velocidade se estabiliza mais lentamente (centenas de milissegundos ou segundos, dependendo de J).

Passo 10

Aspectos práticos e de proteção (o que o projetista precisa ter em mente)
  • O aumento de corrente pode ser elevado no transiente (pico) e causar aquecimento; proteções (fusíveis, limitadores, controladores) são importantes.
  • Se o torque pedido ficar próximo do torque de estol, a velocidade cairá muito e o motor sofrerá aquecimento por corrente contínua alta.
  • Em controladores com realimentação (malha de corrente/velocidade) a resposta pode ser mais rápida e controlada: o controlador ajusta tensão ou corrente para manter performance.

Resposta

O motor vai desacelerar ( \frac{d\omega}{dt}<0), o que faz cair a back-EMF E_b=k_e\omega; com E_b menor a tensão líquida V-E_b aumenta e a corrente da armadura I_a sobe (transiente limitado por L_a), aumentando o torque t_{ind}=k_t I_a até que t_{ind}=t_{carga}. A velocidade de regime resultante é
\omega_{ss}=\frac{1}{k_e}\left(V - R_a\frac{t_{carga}}{k_t}\right),
desde que
t_{carga}\le \frac{k_t V}{R_a}
(ou seja, t_{carga} não exceda o torque de estol t_{stall}=k_tV/R_a); caso contrário o motor entra em estol (trava) e não atinge equilíbrio.

Exercícios relacionados