Deduza a equação da velocidade Um para o motor shunt.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a equação da velocidade U_m para um motor do tipo shunt.
Informações relevantes (que assumimos como dadas ou padrão para este motor):
  • Tensão de alimentação no motor: V (volts).
  • Resistência do circuito de armadura: R_a (ohms).
  • Resistência do enrolamento de campo (shunt): R_f (ohms).
  • Corrente de armadura: I_a (ampères).
  • Corrente de campo: I_f (ampères).
  • Fluxo por polo gerado pelo campo: \Phi (weber, Wb).
  • Constantes elétricas mecânicas do motor: constante de força contra-eletromotriz k_e e constante de torque k_t. (Mais adiante explico o que cada uma significa.)
  • Assumimos regime permanente e que o enrolamento de campo está em paralelo com a alimentação (configuração shunt), desprezando saturação magnética e efeitos de reação de armadura para simplificar.
    O objetivo final é obter uma expressão que relacione a velocidade U_m (vou usar \omega_m para a velocidade angular) com as grandezas elétricas e mecânicas do motor.

Passo 2

Começamos pela equação elétrica do circuito de armadura (Lei de Ohm aplicada à armadura). Ela diz que a tensão aplicada V é usada para vencer a força contra-eletromotriz (f.c.e., também chamada de tensão induzida) E e as quedas resistivas na armadura:
V = E + I_a R_a.
Explicação: V é a tensão no borne do motor; E é a tensão induzida pela rotação do eixo (opõe-se à corrente); I_a R_a é a queda de tensão na resistência do enrolamento de armadura.

Passo 3

A força contra-eletromotriz E é proporcional à velocidade angular \omega_m e ao fluxo por polo \Phi. Escrevemos:
E = k_e \, \Phi \, \omega_m.
Explicação didática: k_e é uma constante que depende das características construtivas do motor (número de espiras, geometria). A ideia física: quanto mais rápido o rotor gira ( \omega_m) e quanto maior o fluxo por polo ( \Phi), maior é a tensão induzida no enrolamento de armadura. Unidades: se \omega_m está em rad/s e \Phi em Wb, k_e tem unidade tal que E fica em volts.

Passo 4

No motor shunt o enrolamento de campo está ligado em paralelo com a alimentação, portanto a corrente de campo é, em primeira aproximação (resistência pura):
I_f = \frac{V}{R_f}.
Assumimos linearidade entre corrente de campo e fluxo, ou seja:
\Phi = k_f \, I_f,
onde k_f é uma constante de proporcionalidade (depende das características do enrolamento e do núcleo magnético). Juntando as duas, obtemos:
\Phi = k_f \frac{V}{R_f}.
Comentário: esta é a hipótese comum quando não consideramos saturação magnética — o fluxo cresce linearmente com a corrente de campo.

Passo 5

Voltemos à equação do Passo 2 e substituímos E (Passo 3):
V = k_e \, \Phi \, \omega_m + I_a R_a.
Isolando a velocidade angular \omega_m, obtemos:
\omega_m = \frac{V - I_a R_a}{k_e \, \Phi}.
Explicação: essa fórmula já é muito importante — ela mostra que a velocidade é proporcional à diferença entre a tensão aplicada e a queda resistiva do circuito de armadura, dividida pelo produto k_e\Phi. Se I_a aumenta (mais carga), a queda I_a R_a aumenta e a velocidade cai.

Passo 6

Agora substituímos a expressão do fluxo \Phi obtida no Passo 4 em \omega_m. Usando \Phi = k_f \dfrac{V}{R_f}, temos:
\omega_m = \frac{V - I_a R_a}{k_e \, \left(k_f \dfrac{V}{R_f}\right)}.
Simplificando a fração:
\omega_m = \frac{R_f}{k_e k_f}\cdot\frac{V - I_a R_a}{V}.
Interpretação: para um dado V e resistências conhecidas, a velocidade depende fracamente de V (no denominador) e decresce com o aumento de I_a. O fator \dfrac{R_f}{k_e k_f} é uma constante do motor associada às suas características de campo e construção.

Passo 7

É comum relacionar a velocidade também ao torque mecânico T exercido pelo motor. A lei do torque para motores elétricos em corrente contínua dá:
T = k_t \, \Phi \, I_a.
Aqui k_t é a constante de torque (proporcionalidade entre corrente de armadura, fluxo e torque). Desenvolvemos I_a em função de T:
I_a = \frac{T}{k_t \, \Phi}.
Substituindo essa expressão de I_a em \omega_m = \dfrac{V - I_a R_a}{k_e \Phi} (Passo 5) obtemos:
\omega_m = \frac{V}{k_e \Phi} - \frac{R_a}{k_e \, \Phi}\cdot\frac{T}{k_t \, \Phi}.
Arrumando os termos:
\omega_m = \frac{V}{k_e \Phi} - \frac{R_a}{k_e k_t \, \Phi^2}\;T.
Interpretação física: a velocidade cai linearmente com o aumento do torque. O coeficiente de queda da velocidade por unidade de torque é \dfrac{R_a}{k_e k_t \Phi^2}.

Passo 8

Observações úteis e simplificações práticas:
  • Velocidade sem carga (torque nulo, T=0, ou I_a\approx 0):
\omega_{m0} = \frac{V}{k_e \Phi}.
Isso é a chamada velocidade de vazio — a mais alta velocidade prática para aquela tensão e fluxo.
  • Em muitos sistemas SI bem definidos, k_e e k_t têm o mesmo valor numérico (apenas unidades diferentes). Se k_e = k_t = k, a equação do Passo 7 simplifica para:
\omega_m = \frac{V}{k \Phi} - \frac{R_a}{k^2 \Phi^2}\,T.
  • Se quiser passar para rotações por minuto n em vez de \omega_m (rad/s), use n = \dfrac{60}{2\pi}\,\omega_m.

Passo 9

Resumo didático do processo (como aplicar na prova):
  1. Escreva a equação do circuito de armadura V = E + I_a R_a.
  2. Use E = k_e \Phi \omega_m.
  3. Para shunt, calcule \Phi a partir de I_f = V/R_f e \Phi = k_f I_f.
  4. Isole \omega_m e, se desejar relacionar com torque, use T = k_t \Phi I_a para eliminar I_a.
    Siga esses passos e você chega à expressão linear que liga velocidade, tensão, corrente/torque e parâmetros do motor.

Resposta

\omega_m = \frac{V - I_a R_a}{k_e \, \Phi}
\omega_m = \frac{R_f}{k_e k_f}\cdot\frac{V - I_a R_a}{V}
\omega_m = \frac{V}{k_e \Phi} - \frac{R_a}{k_e k_t \, \Phi^2}\;T

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