Considere a Sequência abaixo
a) Assumindo que o padrão da sequência se mantenha, determine uma fórmula geral para o
-ésimo termo da sequência.
b) A sequência é crescente ou decrescente?
c) A sequência é limitada?
d) A sequência converge ou diverge?
b) A sequência é crescente ou decrescente?
c) A sequência é limitada?
d) A sequência converge ou diverge?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede:
a) uma fórmula geral para o -ésimo termo;
b) se é crescente ou decrescente;
c) se é limitada;
d) se converge ou diverge.
O conteúdo envolvido é identificação de padrão em sequência, teste de monotonicidade (diferença de termos), verificação de limites e definição de sequência limitada.
a) uma fórmula geral para o
b) se é crescente ou decrescente;
c) se é limitada;
d) se converge ou diverge.
O conteúdo envolvido é identificação de padrão em sequência, teste de monotonicidade (diferença de termos), verificação de limites e definição de sequência limitada.
Passo 2
Para achar a fórmula geral note que os numeradores formam
que é uma progressão aritmética de razão
, cujo termo geral é
(pois
, etc.).
Os denominadores formam
Os denominadores formam
que são os produtos
, ou seja,
.
Logo o -ésimo termo é
Logo o
Passo 3
Para estudar monotonicidade consideramos
O denominador é sempre positivo para
. O sinal de
vem de
:
- Para
, e . - Para
, e .
Isto mostra que a sequência cresce atée decresce a partir de . Portanto não é monotonicamente crescente nem decrescente em toda a parte.
Passo 4
Para verificar se é limitada, observamos que
para todo
. Além disso, para grandes
,
fica entre esses valores. Logo existe um limite inferior
e um limite superior
, ou seja, a sequência é limitada.
Passo 5
Para estudar convergência, calculamos
Como o limite existe e é finito, a sequência converge e seu valor limite é
.
Resposta
a)
b) cresce até e decresce a partir de
, não sendo monotônica globalmente
c) sim, é limitada inferiormente por e superiormente por
d) converge, com
b) cresce até
c) sim, é limitada inferiormente por
d) converge, com