Considere a Sequência abaixo
-32, -16, 112, 320, 530, ldots
a) Assumindo que o padrão da sequência se mantenha, determine uma fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência.
b) A sequência é crescente ou decrescente?
c) A sequência é limitada?
d) A sequência converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado dá a sequência
-32, -16, 112, 320, 530, ldots
e pede:
a) uma fórmula geral para o n-ésimo termo;
b) se é crescente ou decrescente;
c) se é limitada;
d) se converge ou diverge.
O conteúdo envolvido é identificação de padrão em sequência, teste de monotonicidade (diferença de termos), verificação de limites e definição de sequência limitada.

Passo 2

Para achar a fórmula geral note que os numeradores formam
-3,,-1,,1,,3,,5,dots
que é uma progressão aritmética de razão 2, cujo termo geral é 2n-5 (pois 2cdot1-5=-3, etc.).
Os denominadores formam
2,,6,,12,,20,,30,dots
que são os produtos 1cdot2,;2cdot3,;3cdot4,dots, ou seja, n(n+1).
Logo o n-ésimo termo é
an ;=;2n-5n(n+1)

Passo 3

Para estudar monotonicidade consideramos
an+1-an =2(n+1)-5(n+1)(n+2)-2n-5n(n+1) =10-2nn(n+1)(n+2)
O denominador é sempre positivo para n>=1. O sinal de an+1-an vem de 10-2n:
  • Para n<5, 10-2n>0 e an+1>an.
  • Para n>5, 10-2n<0 e an+1<an.
    Isto mostra que a sequência cresce até n=5 e decresce a partir de n=6. Portanto não é monotonicamente crescente nem decrescente em toda a parte.

Passo 4

Para verificar se é limitada, observamos que
a1=-tfrac32 e an<= a5=tfrac530=tfrac16
para todo n. Além disso, para grandes n, an fica entre esses valores. Logo existe um limite inferior -tfrac32 e um limite superior tfrac16, ou seja, a sequência é limitada.

Passo 5

Para estudar convergência, calculamos
limntoinftyan =limntoinfty2n-5n^2+n =limntoinfty2-tfrac5nn+1 =0
Como o limite existe e é finito, a sequência converge e seu valor limite é 0.

Resposta

a) an=2n-5n(n+1)
b) cresce até n=5 e decresce a partir de n=6, não sendo monotônica globalmente
c) sim, é limitada inferiormente por -tfrac32 e superiormente por tfrac16
d) converge, com limntoinftyan=0

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