Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)= 3 y^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Resumindo o problema: temos a função
f(x,y)= 3y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos obter as derivadas parciais em (0,0) e depois checar se o resto
f(x,y)-f(0,0)-fx(0,0),x-fy(0,0),y
é de ordem o(raizx^2+y^2).]

Passo 2

Calcular a derivada parcial em x por definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Passo 3

Calcular a derivada parcial em y por definição:
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto03k^3k^2-0k =limkto03k1 =3

Passo 4

O modelo linear candidato em torno da origem é
L(x,y)=fx(0,0),x + fy(0,0),y =0cdot x + 3cdot y =3y

Passo 5

Calcular o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) =3y^3x^2+y^2-3y =3yl(y^2x^2+y^2-1r) =-3y,x^2x^2+y^2

Passo 6

Para diferenciabilidade precisamos
|R(x,y)|raizx^2+y^2;xrightarrow(x,y)to(0,0);0
Mas ao tomar y=xneq0 temos
R(x,x)=-3x,x^22x^2=-3x2, raizx^2+x^2=|x|raiz2,
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|R(x,x)|raizx^2+x^2 =tfrac3|x|2|x|raiz2 =32raiz2neq0
Isso impede que o resto seja o(raizx^2+y^2).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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