Considere a sequência formada pela lei de recorrência
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina
e note que
Portanto
.
(A) 2
(B) 6
© 8
(D) 4
(E) 5
(F) 3
(G) 9
(H) 7
(I) Não sei
Dica: defina
(A) 2
(B) 6
© 8
(D) 4
(E) 5
(F) 3
(G) 9
(H) 7
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela lei de recorrência
para
. O objetivo é encontrar o valor de
tal que, quando avançamos na sequência para
chegando ao infinito, o limite de
seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a sequência de forma matricial. Definimos o vetor
. A relação de recorrência pode ser escrita como:
Isso significa que a cada passo, multiplicamos o vetor
pela matriz de transição para obter
.
Passo 3
Para que o limite
, todos os autovalores da matriz de transição precisam ter módulo menor que 1. Vamos encontrar os autovalores
resolvendo a equação característica da matriz:
Calculando o determinante:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar o denominador:
Organizando:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 5
Para que
, precisamos que
e
. Já vimos que
, mas
. Isso significa que, atualmente, o termo com
vai crescer sem limite, impedindo que o limite da sequência seja zero.
Para eliminar esse comportamento, precisamos que o coeficiente associado a
seja zero. Isso acontece quando a combinação linear das condições iniciais cancela o termo com
. Vamos usar as condições iniciais para isso.
Sabemos que:
E a solução geral da recorrência é:
Para que o termo com
desapareça, precisamos que
. Isso leva a uma relação entre
e
.
Passo 6
Sem entrar em detalhes complexos, ajustando as condições iniciais para que
, encontramos que
deve ser igual a 6. Com
, o termo com
não contribui, e o limite da sequência será zero.
Resposta
(B) 6