Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(3 x-6 y+8 z, y5-2 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é maior do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores do espaço tridimensional e os transforma de uma maneira específica. O exercício pergunta como essa transformação afeta o volume de um paralelepípedo que inicialmente tem volume 7. Basicamente, queremos saber se o volume de vai ser maior, menor, igual ou se pode variar em relação ao volume original de 7.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que transformações lineares em espaços vetoriais podem alterar o volume de figuras geométricas. A quantidade dessa alteração depende do determinante da matriz que representa a transformação.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz que representa a transformação T(x, y, z) = (3x - 6y + 8z, y5 - 2z, z) . A transformação é dada por:
A = 3 & -6 & 8 0 & 15 & -2 0 & 0 & 1
Então, a matriz que representa é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 3 times 15 times 1 = 35 . O determinante nos diz como o volume é escalado pela transformação.
Para uma matriz triangular (como a nossa, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:

Passo 5

O determinante significa que o volume original será multiplicado por após a transformação. Como é menor que 1, o volume diminui.

Resposta

(B) é menor do que o volume de .

Exercícios relacionados