Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais
que nos permite escrever
(c) Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
(d) Calcule
.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais
(d) Calcule
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede (a) os três primeiros valores de
, (b) a decomposição
(c) uma fórmula fechada para
, (d) o limite de
e (e) conclusão sobre convergência e soma.
O conteúdo é séries numéricas e telescopia, vamos usar decomposição em diferença de termos para somar.
O conteúdo é séries numéricas e telescopia, vamos usar decomposição em diferença de termos para somar.
Passo 2
Calculamos
Passo 3
Impondo
multiplicamos por
:
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos
Passo 4
Com
e
reescrevemos
onde definimos
. Essa forma telescópica fará com que
Passo 5
Usando telescopia,
Passo 6
Para o limite, note que
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Resposta
(a)
,
,
.
(b) ,
.
(c) .
(d) .
(e) A série converge e sua soma é .
(b)
(c)
(d)
(e) A série converge e sua soma é