Considere a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-n}{2^{n+1}} para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais A, B que nos permite escrever
\frac{1-n}{2^{n+1}}=\frac{n+A}{2^{n+1}}+\frac{B n}{2^{n}}
(c) Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais \left\{S_{n}\right\}.
(d) Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-n}{2^{n+1}}
e pede (a) os três primeiros valores de S_n, (b) a decomposição
\frac{1-n}{2^{n+1}} = \frac{n+A}{2^{n+1}}+\frac{Bn}{2^n},
(c) uma fórmula fechada para S_n, (d) o limite de S_n e (e) conclusão sobre convergência e soma.
O conteúdo é séries numéricas e telescopia, vamos usar decomposição em diferença de termos para somar.

Passo 2

Calculamos
S_1=\frac{1-1}{2^{2}}=0,\quad S_2=S_1+\frac{1-2}{2^{3}}=0-\frac{1}{8}=-\frac{1}{8},\quad S_3=S_2+\frac{1-3}{2^{4}}=-\frac{1}{8}-\frac{2}{16}=-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}.

Passo 3

Impondo
\frac{1-n}{2^{n+1}} = \frac{n+A}{2^{n+1}}+\frac{Bn}{2^n},
multiplicamos por 2^{n+1}:
1-n = n + A + 2Bn.
Comparando coeficientes de n e termo constante obtemos
1+2B = -1\;\Rightarrow\;B=-1, \qquad A = 1.

Passo 4

Com A=1 e B=-1 reescrevemos
\frac{1-n}{2^{n+1}} = \frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac{n}{2^n} = a_{n+1}-a_n,
onde definimos a_n=\frac{n}{2^n}. Essa forma telescópica fará com que
S_N=\sum_{n=1}^N\bigl(a_{n+1}-a_n\bigr).

Passo 5

Usando telescopia,
S_N =\bigl(a_2-a_1\bigr)+\bigl(a_3-a_2\bigr)+\cdots+\bigl(a_{N+1}-a_N\bigr) = a_{N+1}-a_1 =\frac{N+1}{2^{N+1}}-\frac{1}{2}.

Passo 6

Para o limite, note que
\lim_{N\to\infty}\frac{N+1}{2^{N+1}}=0,
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\lim_{N\to\infty}S_N =0-\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}.

Resposta

(a) S_1=0, S_2=-\tfrac18, S_3=-\tfrac14.
(b) A=1, B=-1.
(c) S_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac12.
(d) \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=-\tfrac12.
(e) A série converge e sua soma é -\tfrac12.

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