Considere a sequência dada por
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o
termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
(c) A sequência é convergente? Justifique!
(b) A sequência é monótona? Justifique!
(c) A sequência é convergente? Justifique!
Passo 1
O enunciado define a sequência recursiva
Vamos primeiro gerar termos para ver o padrão, depois resolver a recorrência para achar a fórmula geral e o termo de ordem
, em seguida estudar monotonicidade e convergência.
Passo 2
Calculemos os cinco primeiros termos usando a fórmula
:
Passo 3
Para obter a fórmula geral, note que o ponto‐fixo da recorrência satisfaz
Escrevendo
temos
logo
. Portanto
Em particular,
Passo 4
Para verificar monotonicidade, observe que
Como
e a fórmula geral mostra que
para todo
, segue
. Logo a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
A sequência é crescente e tem limite superior
(pois
). Pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge, e do cálculo do ponto‐fixo ou da fórmula geral vemos que
Resposta
(a)
,
,
,
,
e
(b) A sequência é estritamente crescente.
(c) A sequência converge e .
(c) A sequência converge e