Considere a série
a) Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos.
b) Estime o erro envolvido nessa aproximação.
c) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?
a) Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos.
b) Estime o erro envolvido nessa aproximação.
c) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a série
usando os dez primeiros termos, estimar o erro dessa aproximação e determinar quantos termos são necessários para que o erro seja menor que
.
Como é positiva, contínua e decrescente para
, vamos usar o teste integral para séries
- com
. Esse teste não só garante convergência, mas fornece cotas para o resto
Como
Passo 2
Para a aproximação pelo somatório dos dez primeiros termos, calculamos
Usando aproximações decimais:
Somando:
Passo 3
Pelo teste integral, o resto após
termos satisfaz
Como
para
obtemos
Assim o erro envolvido na soma dos dez primeiros termos é menor que
.
Passo 4
Queremos
. Basta usar a cota superior
Logo precisamos de
termos para garantir erro abaixo de
.
Resposta
a)
b) O erro satisfaz , ou seja, é menor que
.
c) São necessários termos para ter precisão de
.
b) O erro satisfaz
c) São necessários