Considere a série sumn=1^infty 1n^3
a) Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos.
b) Estime o erro envolvido nessa aproximação.
c) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a série
sumn=1^infty1n^3
usando os dez primeiros termos, estimar o erro dessa aproximação e determinar quantos termos são necessários para que o erro seja menor que 0,0005.
Como 1n^3 é positiva, contínua e decrescente para n>=1, vamos usar o teste integral para séries p- com p=3>1. Esse teste não só garante convergência, mas fornece cotas para o resto
RN = sumn=N+1^infty1n^3,

Passo 2

Para a aproximação pelo somatório dos dez primeiros termos, calculamos
S10 = sumn=1^101n^3 =1 + 12^3 + 13^3 + cdots + 110^3
Usando aproximações decimais:
1 &= 1, 12^3 &= 0,125, 13^3 &approx 0,037037, 14^3 &= 0,015625, 15^3 &= 0,008, 16^3 &approx 0,0046296, 17^3 &approx 0,002915, 18^3 &= 0,0019531, 19^3 &approx 0,0013717, 110^3 &= 0,001
Somando:
S10approx 1 + 0,125 + 0,037037 + 0,015625 + 0,008 + 0,0046296 + 0,002915 + 0,0019531 + 0,0013717 + 0,001 = 1,1975314

Passo 3

Pelo teste integral, o resto após N termos satisfaz
integralN+1^inftydxx^3 < RN < integralN^inftydxx^3
Como
integrala^inftyx^-3dx = [-tfrac12x^2]a^infty = 12a^2,
para N=10 obtemos
12,(11)^2 < R10 < 12,(10)^2 Longrightarrow 1242approx0,00413 < R10 < 0,005
Assim o erro envolvido na soma dos dez primeiros termos é menor que 0,005.

Passo 4

Queremos RN<0,0005. Basta usar a cota superior
RN < 12N^2 <= 0,0005 Longrightarrow 12N^2<= 0,0005 Longrightarrow N^2 >= 12cdot0,0005 = 1000 Longrightarrow N >= raiz1000approx31,62
Logo precisamos de N=32 termos para garantir erro abaixo de 0,0005.

Resposta

a) S10approx1,1975314
b) O erro satisfaz 0,00413<R10<0,005, ou seja, é menor que 0,005.
c) São necessários 32 termos para ter precisão de 0,0005.

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