a) Determine qual ou quais das funções são soluções da equação
b) Seja uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução de forma que e sejam soluções fundamentais da equação.
c) Determine a solução geral da equação
e obtenha a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede para a equação linear homogênea de segunda ordem
a) testar se , ou são soluções;
b) dada uma solução , achar uma segunda solução de modo que seja base de soluções (soluções fundamentais);
c) montar a solução geral e resolver o PVI
Para isso vamos usar substituição direta em (a) e o método de redução de ordem em (b–c).
Passo 2
Testamos e calculando derivadas e substituindo, mas nenhum z_1 nem z_2 zera a equação para todo . Em contrapartida, para temos
substituindo:
Logo apenas é solução.
Passo 3
Tomamos e colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por :
Para achar y2 via redução de ordem usamos a fórmula
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx
Passo 4
Calculamos
integral p(x),dx =integralx+2x+3,dx =integrall(1-1x+3r),dx =x-ln|x+3|