a) Determine qual ou quais das funções z1(x)=x^2, z2(x)= x^3 e z3(x)=e^-x são soluções da equação
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0(0,5)
b) Seja y1(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x) de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação. (1,0)
c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
e obtenha a solução do PVI
c (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 y(1)=1, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado pede para a equação linear homogênea de segunda ordem
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0
a) testar se z1(x)=x^2, z2(x)=x^3 ou z3(x)=e^-x são soluções;
b) dada uma solução y1, achar uma segunda solução y2 de modo que y1,y2 seja base de soluções (soluções fundamentais);
c) montar a solução geral e resolver o PVI
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0, y(1)=1,;y'(1)=3
Para isso vamos usar substituição direta em (a) e o método de redução de ordem em (b–c).

Passo 2

Testamos z1(x)=x^2 e z2(x)=x^3 calculando derivadas e substituindo, mas nenhum z_1 nem z_2 zera a equação para todo x. Em contrapartida, para z3(x)=e^-x temos
z3'=-e^-x, z3''=e^-x,
substituindo:
(x+3)e^-x+(x+2)(-e^-x)-e^-x =l[(x+3)-(x+2)-1r]e^-x=0
Logo apenas z3(x)=e^-x é solução.

Passo 3

Tomamos y1(x)=e^-x e colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por (x+3):
y''+underbracex+2x+3p(x),y'-1x+3,y=0
Para achar y2 via redução de ordem usamos a fórmula
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral p(x),dx =integralx+2x+3,dx =integrall(1-1x+3r),dx =x-ln|x+3|
Logo
e^-integral p,dx =e^-x+ln|x+3| =(x+3)e^-x

Passo 5

Na fórmula de redução de ordem aparece
e^-integral p,dxy1^2 =(x+3)e^-xe^-2x =(x+3)e^x
Assim
y2=e^-xintegral (x+3)e^x,dx =e^-xl(xe^x-e^x+3e^xr) =e^-xl(xe^x+2e^xr) =x+2
Logo y1,y2=e^-x,,x+2 é o par fundamental.

Passo 6

A solução geral é
Calculamos a derivada
e impomos o PVI em
Da segunda equação (C_2=3+C_1e^{-1}]. Substituindo na primeira:

Resposta

a) Apenas z3(x)=e^-x é solução da EDO dada.
b) Uma segunda solução linearmente independente é
y2(x)=x+2
c) A solução geral é
y(x)=C1e^-x+C2(x+2),
e a solução do PVI é
y(x)=x+2-2e^,1-x

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