Considere que x(t) é um sinal que evolui no domínio do tempo de acordo com a equação diferencial linear representada por 2 ddotx+18 dotx+40 x=0, onde dotx=d xd t e ddotx=d^2 xd t^2. Considerando dotx(0)=0 e x(0)=1, a solução dessa equação, válida unicamente para t >= 0, é expressa por
(A) 2 e^t-e^2 t
(B) 4 e^-4 t-5 e^-5 t
© 5 e^-4 t-4 e^-5 t
(D) 5(e^-4 t-e^-5 t)
(E) 10(e^-5 t-e^-4 t)

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: a gente tem uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
2,ddot x + 18,dot x + 40,x = 0
e as condições iniciais
x(0)=1, dot x(0)=0,
Conteúdo envolvido: EDO homogênea de 2ª ordem, equação característica, solução geral e aplicação de condições iniciais. Vamos usar tudo isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro a gente monta a equação característica, que surge ao tentar uma solução do tipo 2(r^2 e^rt) + 18(r e^rt) +40(e^rt) = 0;;Longrightarrow;;2r^2+18r+40=0. Substituindo na EDO:
r^2+9r+20=0
Dividindo tudo por 2 fica mais simples:

Passo 3

Agora resolvemos essa equação quadrática r = -9pmraiz12 = -9pm12;;Longrightarrow;;r1=-4, r2=-5. O discriminante é x(t)=A,e^-4t + B,e^-5t, então as raízes são

Como são raízes reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é

Passo 4

Vamos achar x(0)=A + B = 1tag1 e dot x(t) = -4A,e^-4t -5B,e^-5t, usando as condições iniciais. Primeiro, em dot x(0) = -4A -5B = 0tag2:

Depois, derivamos :
e em isso vira

Passo 5

Temos agora o sistema linear em -tfrac54 B + B = 1Longrightarrow -tfrac14 B = 1Longrightarrow B = -4:
(1)
(2) .
Da (2) vem ou . Substituindo na (1):

Então .

Resposta

Logo, a solução que bate com as condições iniciais é
boxedx(t) = 5,e^-4t ;-;4,e^-5t,,
que corresponde à alternativa ©.

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