Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: a gente tem uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
Conteúdo envolvido: EDO homogênea de 2ª ordem, equação característica, solução geral e aplicação de condições iniciais. Vamos usar tudo isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro a gente monta a equação característica, que surge ao tentar uma solução do tipo . Substituindo na EDO:
Dividindo tudo por 2 fica mais simples:
Passo 3
Agora resolvemos essa equação quadrática . O discriminante é , então as raízes são
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é
Passo 4
Vamos achar e usando as condições iniciais. Primeiro, em :
Depois, derivamos :
e em isso vira
Passo 5
Temos agora o sistema linear em -tfrac54 B + B = 1Longrightarrow -tfrac14 B = 1Longrightarrow B = -4:
(1)
(2) .
Da (2) vem ou . Substituindo na (1):
Então .
Resposta
Logo, a solução que bate com as condições iniciais é