Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de Transferência:
G(s)=Ks^2+a s+b
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad / s. Quando alimentado por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K, respectivamente, são
(A) 42 e 180
(B) 21 e 90
© 21 e 15
(D) 10,5 e 90
(E) 10,5 e 45

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos um sistema linear, causal e de segunda ordem com
G(s)=Ks^2 + a,s + b
e sabemos que ele tem razão de amortecimento zeta=0,7 e frequência natural não amortecida omegan=15,rad/s. Quando aplicamos um degrau unitário na entrada, a saída em regime permanente vale 0,4. A gente precisa encontrar os valores de a e de K.
Conteúdo que vamos usar:
  • Forma padrão de um sistema de segunda ordem: s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2.
  • Relações zeta = a2raizb e omegan = raizb.
  • Ganho em regime permanente para entrada degrau: y(infty)=limsto0s,G(s),1s = G(0)=Kb.

Passo 2

Primeiro vamos igualar a parte do denominador à forma padrão. Na forma padrão a gente escreve
s^2 + 2zeta,omegan,s + omegan^2
e no enunciado tem
s^2 + a,s + b,
Então:
  1. omegan^2 = bRightarrow b = omegan^2 = 15^2 = 225
  2. 2,zeta,omegan = aRightarrow a = 2cdot0,7cdot15 = 21

Passo 3

Agora vamos achar K usando o fato de que, para um degrau unitário, o valor em regime permanente é
y(infty) = G(0) = Kb
e sabemos que y(infty)=0,4 e já temos b=225. Então
0,4 = K225Longrightarrow K = 0,4 times 225 = 90

Resposta

a = 21 e K = 90.

Exercícios relacionados