O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s^3+12 s^2+44 s+48+k
Variando positivamente o valor de K até o sistema entrar em oscilação pura (limiar da instabilidade), o valor da frequência de oscilação, em rad/s, é
(A) raiz12
(B) raiz44
© raiz48
(D) raiz52
(E) raiz87

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: o enunciado diz que é um sistema em malha fechada cuja equação característica (o polinômio do denominador) é
s^3 + 12,s^2 + 44,s + (48 + k)
A matéria é Critério de Routh–Hurwitz pra estabilidade. A ideia é variar até o sistema ficar no limiar da instabilidade (ou seja, um par de pólos na imaginária pura). A gente vai precisar:
- Montar a tabela de Routh.
- Achar o valor de que zera um elemento da primeira coluna (sinal de oscilação pura).
- Montar a equação auxiliar pra descobrir a frequência .

Passo 2

Vamos montar a tabela de Routh para o polinômio
s^3 + 12s^2 + 44s + (48 + k)
A tabela fica assim (só primeiro elemento de cada linha que interessa pra estabilidade):
Linha 12cdot44 - 1cdot(48 + k)12 = 528 - 48 - k12 = 480 - k12 : coeficientes de → 1 | 44
Linha : coeficientes de → 12 | 
Linha :
Linha :

Passo 3

No limiar de instabilidade aparece um zero na primeira coluna (linha 480 - k12 = 0 Longrightarrow k = 480 ). Então a gente impõe

Passo 4

Com esse 12,s^2 + (48 + 480) = 12,s^2 + 528 = 0, a linha s^2 + 44 = 0 Longrightarrow s = pm jraiz44 virou
omega = raiz44
Essa é a equação auxiliar que gera os pólos imaginários puros. Divide por 12:
$$s^2 + 44 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
s = \pm j\sqrt{44}.$$
Logo a frequência de oscilação é

Resposta

(alternativa B)

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