Considere o sinal x(t)=\sin (\omega t). Apresente o gráfico do sinal resultante \rho(x) das seguintes transformações: \rho(x)=\operatorname{sign}(x), no qual sign( x ) é a função sinal:
\operatorname{sign}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { se } x=0 \\\\ -1, & \text { se } x<0\end{cases}
Passo 1
O enunciado define o sinal de entrada \displaystyle x(t)=\sin(\omega t)\)
e pede o gráfico de saída \(\displaystyle \rho(x)=\sign\bigl(x(t)\bigr)\),
onde
\[\sign(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ -1,&x<0. \end{cases}
O conteúdo aqui é a aplicação de uma não-linearidade (função sinal) a um sinal senoidal, resultando num “pulso quadrado” de amplitude \pm1\] com zeros nos instantes em que \(\sin(\omega t)=0.
Passo 2
Identificamos os instantes em que \sin(\omega t) se anula.
\sin(\omega t)=0\quad\Longrightarrow\quad \omega t = k\pi \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{k\pi}{\omega}, \quad k\in\mathbb{Z}.
Em cada intervalo entre esses zeros, \sin(\omega t) é estritamente positiva ou negativa.
Passo 3
Assim, para cada inteiro k:
Em \displaystyle \frac{2k\pi}{\omega} < t < \frac{(2k+1)\pi}{\omega} temos \sin(\omega t)>0, logo \rho(x)=+1.
Em \displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{\omega} < t < \frac{(2k+2)\pi}{\omega} temos \sin(\omega t)<0, logo \rho(x)=-1.
Em \displaystyle t = \frac{k\pi}{\omega} temos \sin(\omega t)=0, logo \rho(x)=0.
Passo 4
Em resumo, \rho(x(t)) é um sinal periódico de período
T = \frac{2\pi}{\omega},
valendo +1 na metade de cada período, -1 na outra metade, e 0 nos pontos de comutação. Em forma de função de tempo:
\rho(x(t)) = \begin{cases} +1, & \displaystyle\frac{2k\pi}{\omega} < t < \frac{(2k+1)\pi}{\omega},\\\\ 0, & t = \displaystyle\frac{k\pi}{\omega},\\\\ -1, & \displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{\omega} < t < \frac{(2k+2)\pi}{\omega}, \end{cases} \quad k\in\mathbb{Z}.
Resposta
O gráfico de \rho(x(t)) é um pulso quadrado periódico de amplitude \pm1 com zeros em t=k\pi/\omega. Mais precisamente, vale +1 entre 2k\pi/\omega e (2k+1)\pi/\omega, vale –1 entre (2k+1)\pi/\omega e (2k+2)\pi/\omega, e é 0 nos instantes t=k\pi/\omega.