O enunciado pede para minimizar o valor de x(1) sujeito ao sistema
\dot{x}(t)=2\,x(t)-u(t),\quad t\in[0,1],
com restrição \lvert u(t)\rvert\le2.
O método que usamos é o Princípio do Máximo (ou Mínimo) de Pontryagin: definimos o Hamiltoniano, escrevemos a EDO do custoate \lambda(t) com a condição de contorno em t=1, e então escolhemos u(t) que minimiza o Hamiltoniano ponto a ponto.
Passo 2
Definimos o Hamiltoniano
H(x,\lambda,u)=\underbrace{0}_{\text{não há custo instantâneo}}+\lambda\,(2x-u)=2\,\lambda\,x-\lambda\,u.
Para minimizar o Hamiltoniano H=2\lambda x-\lambda u\) em relação a \(u\) com \(\lvert u\rvert\le2\), observamos que \(\partial H/\partial u=-\lambda<0\).
Num problema de minimização escolhe-se \(u\) tal que
\[u^*(t)= \begin{cases} +2,&\text{se }\partial H/\partial u<0,\\\\ -2,&\text{se }\partial H/\partial u>0. \end{cases}
Como (\partial H/\partial u=-\lambda(t)] é sempre negativo, concluímos u^*(t)=2\quad\forall t\in[0,1].
Passo 5
Finalmente, com u^*(t)=2, o estado satisfaz
\dot x=2x-2,
que é EDO linear. Seja x(0)=x_0 o valor inicial, então a solução é