(2,0 pts. ) Aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin resolver o seguinte problema de controle ótimo:
\begin{aligned} & \text { Sistema: } \quad \dot{x}=2 x-u, \quad t \in[0,1] \\\ & \text { Funcional a minimizar: } J=x(1) \\\ & \text { Limitações do controle: }|u| \leq 2 \end{aligned}çõ

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o valor de x(1) sujeito ao sistema
\dot{x}(t)=2\,x(t)-u(t),\quad t\in[0,1],
com restrição \lvert u(t)\rvert\le2.
O método que usamos é o Princípio do Máximo (ou Mínimo) de Pontryagin: definimos o Hamiltoniano, escrevemos a EDO do custoate \lambda(t) com a condição de contorno em t=1, e então escolhemos u(t) que minimiza o Hamiltoniano ponto a ponto.

Passo 2

Definimos o Hamiltoniano
H(x,\lambda,u)=\underbrace{0}_{\text{não há custo instantâneo}}+\lambda\,(2x-u)=2\,\lambda\,x-\lambda\,u.ãáâ
A equação adjunta (do custoate) vem de
\dot\lambda(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}=-2\,\lambda(t),
com condição terminal
\lambda(1)=\frac{\partial}{\partial x(1)}\bigl[x(1)\bigr]=1.

Passo 3

Resolvendo \dot\lambda=-2\lambda com \lambda(1)=1, obtemos
\lambda(t)=e^{-2\,(t-1)}=e^{2-2t}>0\quad\forall t\in[0,1].

Passo 4

Para minimizar o Hamiltoniano H=2\lambda x-\lambda u\) em relação a \(u\) com \(\lvert u\rvert\le2\), observamos que \(\partial H/\partial u=-\lambda<0\). Num problema de minimização escolhe-se \(u\) tal que \[u^*(t)= \begin{cases} +2,&\text{se }\partial H/\partial u<0,\\\\ -2,&\text{se }\partial H/\partial u>0. \end{cases}
Como (\partial H/\partial u=-\lambda(t)] é sempre negativo, concluímos
u^*(t)=2\quad\forall t\in[0,1].

Passo 5

Finalmente, com u^*(t)=2, o estado satisfaz
\dot x=2x-2,
que é EDO linear. Seja x(0)=x_0 o valor inicial, então a solução é
x(t)-1=\bigl(x_0-1\bigr)e^{2t},
ou seja
x(t)=\bigl(x_0-1\bigr)e^{2t}+1.
Em particular
x(1)=\bigl(x_0-1\bigr)e^{2}+1,
que é o valor mínimo alcançado.

Resposta

O controle ótimo é
u^*(t)=2,\quad t\in[0,1],
e a trajetória associada é
x^*(t)=\bigl(x(0)-1\bigr)e^{2t}+1.

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