(2,0 pts. ) Aplicando o método de Bellman (Programação Dinâmica) projetar o controlador linear quadrático para o seguinte sistemas:
minimizando o funcional:
Passo 1
O enunciado dá um sistema escalar
e pede para projetar, via método de Bellman (programação dinâmica), um controlador do tipo
que minimize
O conteúdo é o problema LQR contínuo: vamos usar a equação algébrica de Riccati para achar o ganho
.
Passo 2
Para um sistema
com custo
, a equação de Riccati escalar é
onde
é a solução escalar positiva.
Passo 3
Aqui temos
Substituindo na Riccati:
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
e
.
Passo 5
Como
deve ser positivo para garantir custo finito e estabilidade, escolhemos
Passo 6
O ganho ótimo é
Portanto a lei de controle fica
, e o pólo fechado é
, estável.
Resposta
O controlador LQR ótimo é