(2,0 pts. ) Aplicando o método de Bellman (Programação Dinâmica) projetar o controlador linear quadrático para o seguinte sistemas:
\dot{x}=4 x+2 u
minimizando o funcional:
J=\int_{0}^{\infty}\left(10 x^{2}+2 u^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado dá um sistema escalar
\dot{x}=4\,x+2\,u
e pede para projetar, via método de Bellman (programação dinâmica), um controlador do tipo u=-Kx que minimize
J=\int_{0}^{\infty}\bigl(10\,x^{2}+2\,u^{2}\bigr)dt.
O conteúdo é o problema LQR contínuo: vamos usar a equação algébrica de Riccati para achar o ganho K.

Passo 2

Para um sistema \dot x = A x + B u com custo \displaystyle J=\int_{0}^{\infty}(x^{T}Qx + u^{T}Ru)\,dt, a equação de Riccati escalar é
2A\,P \;-\;\frac{B^{2}}{R}\,P^{2} \;+\;Q \;=\;0,
onde P é a solução escalar positiva.

Passo 3

Aqui temos
A=4,\quad B=2,\quad Q=10,\quad R=2.
Substituindo na Riccati:
2\cdot4\,P \;-\;\frac{2^{2}}{2}\,P^{2} \;+\;10 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 8P - 2P^{2} +10 = 0.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão:
2\,P^{2} -8\,P -10 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
P = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4\cdot2\cdot(-10)}}{2\cdot2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 +80}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{4} = \frac{8 \pm 12}{4}.
Logo as raízes são P_{1}=5 e P_{2}=-1.

Passo 5

Como P deve ser positivo para garantir custo finito e estabilidade, escolhemos
P = 5.

Passo 6

O ganho ótimo é
K = R^{-1}B\,P = \frac{1}{2}\cdot2\cdot5 = 5.
Portanto a lei de controle fica u=-Kx=-5x, e o pólo fechado é 4 - 2\cdot5 = -6, estável.

Resposta

O controlador LQR ótimo é
u = -5\,x.

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