Considere um sistema composto por dois cilindros coaxiais perfeitamente condutores, de raios interno a =8 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{b}=20 \mathrm{~mm}, preenchidos por um dielétrico perfeito com: \varepsilon=\left(\mathbf{1 0}^{-\mathbf{9}}\right) /(\mathbf{4} \pi) \mathrm{F} / \mathbf{m}, \quad \mu_{\mathrm{r}}=\mathbf{1}.
No interior desse guia coaxial, propaga-se o campo elétrico: \mathbf{E}(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{z}, \mathbf{t})=(\mathbf{5 0 0} / \boldsymbol{\rho}) \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{\omega} \mathbf{t}-\mathbf{4 z}) \mathbf{a} \boldsymbol{\rho} \mathbf{V} / \mathbf{m}.
Este sistema alimenta uma antena dipolo de meia onda, sem perdas, no espaço livre, que possui resistência de radiação 73 \Omega e diretividade máxima \mathrm{D}_{\text {max }} =1,64. A corrente máxima no centro do dipolo é 1 A .
Usando diretamente as equações de Maxwell.
(a) Determine \omega compatível com o campo elétrico fornecido.
(b) Determine o campo magnético completo \mathrm{H}(\rho, \mathrm{z}, \mathrm{t}).
(c) Determine a densidade de potência média \langle\mathrm{S}(\rho, \mathrm{z})\rangle.
(d) Calcule a potência média total transmitida pela secção transversal do guia para 8 \mathrm{~mm}<\rho<20 \mathrm{~mm}.
(e) Assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo:
  • determine a potência irradiada pela antena;
  • determine a densidade de potência incidente sobre uma abertura de 1 \mathrm{~m}^{2} a 1 km , no plano equatorial;

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo com calma para não se perder):
  • Dois cilindros coaxiais condutores, raios internos a=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m} e externos b=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Meio dielétrico perfeito com permissividade \varepsilon=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}\\ \mathrm{F/m} e \mu_r=1. Logo \mu=\mu_0\mu_r=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Campo elétrico dentro do guia (em coordenadas cilíndricas): \mathbf{E}(\rho,z,t)=\frac{500}{\rho}\cos(\omega t-4z)\,\mathbf{a}_\rho\\ \mathrm{V/m}.Observe que o argumento da cosseno é \omega t-4z.
  • Antena dipolo meia onda, sem perdas, com resistência de radiação R_\text{rad}=73\\ \Omega, diretividade máxima D_{\max}=1{,}64 e corrente máxima no centro I_0=1\\ \mathrm{A}.
  • Pedidos:
    (a) determinar \omega compatível com o campo;
    (b) obter o campo magnético completo \mathbf{H}(\rho,z,t);
    (c) densidade de potência média \langle\mathbf{S}(\rho,z)\rangle;
    (d) potência média total transmitida pela secção transversal do guia entre a e b;
    (e) assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo: potência irradiada pela antena e densidade de potência incidente sobre 1\\ \mathrm{m}^2 a 1\\ \mathrm{km} no plano equatorial.

Passo 2

Encontrar \omega.
  • Do termo de fase no campo elétrico \cos(\omega t-4z) lemos imediatamente a constante de fase espacial (constante de propagação) \beta=4\\ \mathrm{rad/m}. Isso porque o argumento é \omega t - \beta z.
  • A equação de propagação (diretamente das equações de Maxwell para ondas no meio homogéneo) relaciona o número de onda k com \omega por k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.Para uma onda que se propaga com \beta conhecemos k=\beta. Portanto imponho \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{\beta}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
  • Calculemos \mu\varepsilon. Substituindo \mu=4\pi\times10^{-7} e \varepsilon=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}: \mu\varepsilon=(4\pi\times10^{-7})\cdot\frac{10^{-9}}{4\pi}=10^{-16}.(os 4\pi cancelam, simples assim). Logo \sqrt{\mu\varepsilon}=10^{-8}.
  • Portanto \omega=\frac{\beta}{10^{-8}}=\frac{4}{10^{-8}}=4\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Se quiser a frequência em hertz: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\times10^{8}}{2\pi}\approx6{,}366\times10^{7}\\ \mathrm{Hz}\approx63{,}66\\ \mathrm{MHz}.

Passo 3

Determinar \mathbf{H}(\rho,z,t) usando as equações de Maxwell e a relação de impedância da onda. Explicando devagar:
  • Para modo TEM (guia coaxial ideal) os campos são transversais a z: \mathbf{E} radial e \mathbf{H} azimutal; eles estão relacionados pela impedância do meio \eta pela relação (uma consequência direta das equações de Maxwell para ondas planas/transversais) \mathbf{E}_{\text{ampl}}=\eta\,\mathbf{H}_{\text{ampl}}\times\mathbf{a}_zque, no nosso caso, reduz-se a H_\varphi=\dfrac{E_\rho}{\eta} (mesma fase). Aqui \eta é a impedância intrínseca do meio: \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.Essa relação dá a amplitude de \mathbf{H} em função da amplitude de \mathbf{E}. (Se quiser, dá-se a mesma conclusão a partir de \nabla\times\mathbf{E}=-\mu\partial\mathbf{H}/\partial t e \nabla\times\mathbf{H}=\varepsilon\partial\mathbf{E}/\partial t, mas a relação de impedância é a forma compacta e direta.)
  • Calculemos \eta. Usando \mu=4\pi\times10^{-7} e \sqrt{\mu\varepsilon}=10^{-8} (do passo anterior), \eta=\frac{\mu}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{10^{-8}}=40\pi\\ \Omega\approx125{,}6637\\ \Omega.
  • Assim a amplitude de \mathbf{H} é H_{\varphi,\text{ampl}}(\rho)=\frac{500}{\eta\,\rho}.Mantendo a dependência temporal/fase igual à de \mathbf{E}, obtemos \mathbf{H}(\rho,z,t)=\frac{500}{\eta\,\rho}\cos(\omega t-4z)\,\mathbf{a}_\varphi.
  • Podemos simplificar numericamente o coeficiente 500/\eta: \frac{500}{\eta}=\frac{500}{40\pi}=\frac{12{,}5}{\pi}\approx3{,}9789.Logo, explicitamente, \boxed{\mathbf{H}(\rho,z,t)=\frac{12{,}5}{\pi\,\rho}\cos(\omega t-4z)\,\mathbf{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}.}(Lembre-se: \rho em metros.)

Passo 4

Densidade de potência média \langle\mathbf{S}\rangle. Ensino a fórmula e aplico:
  • A densidade de Poynting instantânea é \mathbf{S}(t)=\mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t). Para campos sinusoidais reais com amplitude de pico E_\text{p} e H_\text{p} a potência média (temporal) é \langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{E}_{\text{p}}\times\mathbf{H}_{\text{p}}^*\}.Como as fases de E e H aqui são as mesmas (mesma cosseno), isso simplifica para \langle\mathbf{S}\rangle=\dfrac{1}{2}\mathbf{E}_{\text{p}}\times\mathbf{H}_{\text{p}}.
  • No nosso caso \mathbf{E}_{\text{p}}=(500/\rho)\,\mathbf{a}_\rho e \mathbf{H}_{\text{p}}=(500/(\eta\rho))\,\mathbf{a}_\varphi. O produto vetorial \mathbf{a}_\rho\times\mathbf{a}_\varphi=\mathbf{a}_z. Portanto \langle\mathbf{S}(\rho,z)\rangle=\frac{1}{2}\cdot\frac{500}{\rho}\cdot\frac{500}{\eta\rho}\,\mathbf{a}_z =\frac{500^2}{2\eta}\cdot\frac{1}{\rho^2}\,\mathbf{a}_z.
  • Simplificando numericamente: 500^2/2=125000 e com \eta=40\pi, \langle\mathbf{S}(\rho,z)\rangle=\frac{125000}{40\pi}\cdot\frac{1}{\rho^2}\,\mathbf{a}_z =\frac{3125}{\pi}\cdot\frac{1}{\rho^2}\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2}.Em outras palavras, \boxed{\langle\mathbf{S}(\rho,z)\rangle=\frac{3125}{\pi\,\rho^2}\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2}.}(Novamente \rho em metros; direção positiva +z.)

Passo 5

Potência média total transmitida pela secção transversal entre a e b. Integro \langle S_z\rangle sobre a área anular:
  • A potência que atravessa a seção (por unidade de comprimento ao longo de z) é P=\iint \langle S_z\rangle\,dA = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=a}^{b} \langle S_z\rangle\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
  • Substituindo \langle S_z\rangle=\dfrac{3125}{\pi\rho^2}: P=2\pi\int_{a}^{b}\frac{3125}{\pi\rho^2}\rho\,d\rho =2\pi\cdot\frac{3125}{\pi}\int_a^b\frac{1}{\rho}\,d\rho.O \pi simplifica: P=6250\int_a^b\frac{1}{\rho}\,d\rho=6250\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\\ \mathrm{W}.
  • Avaliando numericamente com a=0{,}008\\ \mathrm{m} e b=0{,}02\\ \mathrm{m}: \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}02}{0{,}008}\right)=\ln(2{,}5)\approx0{,}9162907.Assim P=6250\times0{,}9162907\approx5726{,}82\\ \mathrm{W}.
  • Portanto a potência média transportada pelo guia (na seção anular) é aproximadamente 5{,}73\\ \mathrm{kW}. (Valor grande — só para você ter noção, campos altos geram potências grandes.)

Passo 6

Assumindo que toda essa potência alimenta integralmente o dipolo: potência irradiada. E confronto rápido com a fórmula via resistência de radiação.
  • Pelo enunciado: “assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo”, então a potência irradiada pela antena é igual à potência que saiu do guia. Logo P_{\text{rad}}=P=6250\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\approx5726{,}82\\ \mathrm{W}.
  • (Observação comparativa — útil na prova): se em vez disso usássemos a corrente máxima dada I_0=1\\ \mathrm{A} e a resistência de radiação R_\text{rad}=73\\ \Omega, a potência radiada esperada por essa corrente seria a conhecida fórmula para corrente senoidal de amplitude I_0: P=\frac{1}{2}I_0^2R_\text{rad}=\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot73=36{,}5\\ \mathrm{W},muito menor que os 5{,}7\\ \mathrm{kW} calculados a partir do guia — ou seja, há uma inconsistência numérica entre os dados (ou então a antena real teria corrente muito distinta). Mas seguindo literalmente o pedido, adotamos P_{\text{rad}}=5726{,}82\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Densidade de potência incidente sobre 1\\ \mathrm{m}^2 a 1\\ \mathrm{km} no plano equatorial. Método e cálculo:
  • A densidade de potência no máximo da radiação (direção de máxima irradiância) a distância r é dada por S(r)=\frac{P_{\text{rad}}\,D_{\max}}{4\pi r^2}.No plano equatorial do dipolo temos a direção de máxima radiação, então usamos D_{\max}=1{,}64.
  • Substituindo P_{\text{rad}}\approx5726{,}82\\ \mathrm{W}, r=1000\\ \mathrm{m}: S(1000\\ \mathrm{m})=\frac{5726{,}82\times1{,}64}{4\pi(1000)^2} \approx\frac{9391{,}98}{12{,}566{,}37\times10^{6}} \approx7{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Isso significa que a potência que incide sobre uma abertura de 1\\ \mathrm{m}^2 nessa posição é igual a 7{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) \omega=4\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s} (corresponde a f\approx63{,}66\\ \mathrm{MHz}).
(b) \displaystyle \mathbf{H}(\rho,z,t)=\frac{500}{\eta\,\rho}\cos(\omega t-4z)\,\mathbf{a}_\varphi=\frac{12{,}5}{\pi\,\rho}\cos(\omega t-4z)\,\mathbf{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}.
(c) \displaystyle \langle\mathbf{S}(\rho,z)\rangle=\frac{3125}{\pi\,\rho^2}\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2}.
(d) \displaystyle P=6250\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=6250\ln\!\left(\frac{0{,}02}{0{,}008}\right)\approx5726{,}82\\ \mathrm{W}.
(e) potência irradiada: \displaystyle P_{\mathrm{rad}}=5726{,}82\\ \mathrm{W}.
(e) densidade de potência sobre 1\\ \mathrm{m}^2 a 1\\ \mathrm{km} no plano equatorial: \displaystyle S=\frac{P_{\mathrm{rad}}D_{\max}}{4\pi r^2}\approx7{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^2}.

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