Considere um sistema composto por dois cilindros coaxiais perfeitamente condutores, de raios interno a
, preenchidos por um dielétrico perfeito com:
.
No interior desse guia coaxial, propaga-se o campo elétrico:
.
Este sistema alimenta uma antena dipolo de meia onda, sem perdas, no espaço livre, que possui resistência de radiação
e diretividade máxima
. A corrente máxima no centro do dipolo é 1 A .
Usando diretamente as equações de Maxwell.
(a) Determine
compatível com o campo elétrico fornecido.
(b) Determine o campo magnético completo
.
(c) Determine a densidade de potência média
.
(d) Calcule a potência média total transmitida pela secção transversal do guia para
.
(e) Assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo:
- determine a potência irradiada pela antena;
- determine a densidade de potência incidente sobre uma abertura de
a 1 km , no plano equatorial;
Este sistema alimenta uma antena dipolo de meia onda, sem perdas, no espaço livre, que possui resistência de radiação
(a) Determine
(b) Determine o campo magnético completo
(c) Determine a densidade de potência média
(d) Calcule a potência média total transmitida pela secção transversal do guia para
(e) Assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo:
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo com calma para não se perder):
- Dois cilindros coaxiais condutores, raios internos
e externos . - Meio dielétrico perfeito com permissividade
e . Logo . - Campo elétrico dentro do guia (em coordenadas cilíndricas):
Observe que o argumento da cosseno é . - Antena dipolo meia onda, sem perdas, com resistência de radiação
, diretividade máxima e corrente máxima no centro . - Pedidos:
(a) determinarcompatível com o campo;
(b) obter o campo magnético completo;
(c) densidade de potência média;
(d) potência média total transmitida pela secção transversal do guia entree ;
(e) assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo: potência irradiada pela antena e densidade de potência incidente sobrea no plano equatorial.
Passo 2
Encontrar
.
- Do termo de fase no campo elétrico
lemos imediatamente a constante de fase espacial (constante de propagação) . Isso porque o argumento é . - A equação de propagação (diretamente das equações de Maxwell para ondas no meio homogéneo) relaciona o número de onda
com por Para uma onda que se propaga com conhecemos . Portanto imponho - Calculemos
. Substituindo e : (os cancelam, simples assim). Logo . - Portanto
- Se quiser a frequência em hertz:
Passo 3
Determinar
usando as equações de Maxwell e a relação de impedância da onda. Explicando devagar:
- Para modo TEM (guia coaxial ideal) os campos são transversais a
: radial e azimutal; eles estão relacionados pela impedância do meio pela relação (uma consequência direta das equações de Maxwell para ondas planas/transversais) que, no nosso caso, reduz-se a (mesma fase). Aqui é a impedância intrínseca do meio: Essa relação dá a amplitude de em função da amplitude de . (Se quiser, dá-se a mesma conclusão a partir de e , mas a relação de impedância é a forma compacta e direta.) - Calculemos
. Usando e (do passo anterior), - Assim a amplitude de
é Mantendo a dependência temporal/fase igual à de , obtemos - Podemos simplificar numericamente o coeficiente
: Logo, explicitamente, (Lembre-se: em metros.)
Passo 4
Densidade de potência média
. Ensino a fórmula e aplico:
- A densidade de Poynting instantânea é
. Para campos sinusoidais reais com amplitude de pico e a potência média (temporal) é Como as fases de e aqui são as mesmas (mesma cosseno), isso simplifica para . - No nosso caso
e . O produto vetorial . Portanto - Simplificando numericamente:
e com , Em outras palavras, (Novamente em metros; direção positiva .)
Passo 5
Potência média total transmitida pela secção transversal entre
e
. Integro
sobre a área anular:
- A potência que atravessa a seção (por unidade de comprimento ao longo de
) é - Substituindo
: O simplifica: - Avaliando numericamente com
e : Assim - Portanto a potência média transportada pelo guia (na seção anular) é aproximadamente
. (Valor grande — só para você ter noção, campos altos geram potências grandes.)
Passo 6
Assumindo que toda essa potência alimenta integralmente o dipolo: potência irradiada. E confronto rápido com a fórmula via resistência de radiação.
- Pelo enunciado: “assumindo que essa potência alimenta integralmente o dipolo”, então a potência irradiada pela antena é igual à potência que saiu do guia. Logo
- (Observação comparativa — útil na prova): se em vez disso usássemos a corrente máxima dada
e a resistência de radiação , a potência radiada esperada por essa corrente seria a conhecida fórmula para corrente senoidal de amplitude : muito menor que os calculados a partir do guia — ou seja, há uma inconsistência numérica entre os dados (ou então a antena real teria corrente muito distinta). Mas seguindo literalmente o pedido, adotamos .
Passo 7
Densidade de potência incidente sobre
a
no plano equatorial. Método e cálculo:
- A densidade de potência no máximo da radiação (direção de máxima irradiância) a distância
é dada por No plano equatorial do dipolo temos a direção de máxima radiação, então usamos . - Substituindo
, : - Isso significa que a potência que incide sobre uma abertura de
nessa posição é igual a .
Resposta
(a)
(corresponde a
).
(b)
(c)
(d)
(e) potência irradiada:
(e) densidade de potência sobre a
no plano equatorial:
(b)
(c)
(d)
(e) potência irradiada:
(e) densidade de potência sobre