Uma típica roda-gigante de parque de diversões possui raio de 9,0 \mathrm{~m} e gira 4,0 vezes por minuto. Qual é o módulo da aceleração ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ) que um passageiro do brinquedo experimenta?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o módulo da aceleração que um passageiro experimenta.
Dados fornecidos:
r = 9,0\\ \mathrm{m}
\text{rotação} = 4,0\\ \text{voltas por minuto}çã
Pergunta:
Qual é o módulo da aceleração (em \mathrm{m/s^2}) que o passageiro experimenta?

Passo 2

Qual é a física que precisamos usar? Quando algo se move em um círculo com velocidade constante em módulo, a aceleração que aponta para o centro é a aceleração centrípeta. As fórmulas úteis são:
A aceleração centrípeta pode ser escrita em duas formas equivalentes:
a_c = \omega^2 r
a_c = \frac{v^2}{r}
Onde:
  • \omega é a velocidade angular, em \mathrm{rad/s}.
  • r é o raio do movimento circular, em \mathrm{m}.
  • v é a velocidade tangencial (linear) do passageiro, em \mathrm{m/s}.
    Essas fórmulas vêm da relação entre movimento circular e movimento linear. Não precisa decorar as duas; eu vou usar a que facilita com as unidades dadas.

Passo 3

Primeiro transformamos a rotação dada (voltas por minuto) em frequência em voltas por segundo, porque \omega precisa estar em \mathrm{rad/s}.
A frequência em voltas por segundo é:
f = \frac{4,0\\ \text{voltas por minuto}}{60\\ \text{s/min}} = \frac{4,0}{60}\\ \text{voltas/s} = \frac{1}{15}\\ \text{voltas/s}.

Passo 4

Agora convertemos frequência em voltas por segundo para velocidade angular \omega em radianos por segundo. Cada volta tem 2\pi radianos, logo:
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=\dfrac{1}{15}:
\omega = 2\pi\cdot\frac{1}{15} = \frac{2\pi}{15}\\ \mathrm{rad/s}.
Se quisermos um valor aproximado:
\omega \approx 0,4189\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Usamos a fórmula \displaystyle a_c=\omega^2 r. Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{15} e r=9,0\\ \mathrm{m}:
a_c = \left(\frac{2\pi}{15}\right)^2 \cdot 9,0.
Faço a álgebra exata primeiro:
a_c = 9,0\cdot \frac{4\pi^2}{225} = \frac{36\pi^2}{225}.
Simplificando \dfrac{36}{225}=\dfrac{4}{25}, obtemos uma forma muito limpa:
a_c = \frac{4\pi^2}{25}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Agora calculo numericamente. Sabendo \pi^2\approx 9,8696:
a_c \approx \frac{4\cdot 9,8696}{25} = \frac{39,4784}{25} \approx 1,5791\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando de forma compatível com os dados (dois algarismos significativos), fica:
a_c \approx 1,58\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Verificação rápida (checa mental): posso também calcular a velocidade tangencial v=\omega r e usar a_c=v^2/r. Com \omega\approx0,4189\\ \mathrm{rad/s} e r=9,0\\ \mathrm{m} temos v\approx3,77\\ \mathrm{m/s} e
a_c=\frac{(3,77)^2}{9,0}\approx\frac{14,21}{9,0}\approx1,58\\ \mathrm{m/s^2},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

1,58\\ \mathrm{m/s^2}

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