Considere um sistema composto de dois sistemas simples separados por uma parede que é rígida e impermeável à matéria, mas que permite o fluxo de calor. Os volumes e número de moles de cada sistema são mantidos fixos, mas as energias E^{(1)} e E^{(2)} são livres para variar, de acordo com o princípio de conservação de energia E^{(1)}+E^{(2)}= constante. A partir dessas informações mostre que T^{(1)}=T^{(2)} é uma condição de equilíbrio oriunda da maximização da entropia.
Dicas: d S=0 no equilíbrio; S=S^{(1)}+S^{(2)}; \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V}=\frac{1}{T}.

Passo 1

O enunciado descreve dois subsistemas separados por uma parede rígida e impermeável à matéria, mas que permite trocas de calor. Cada subsistema tem volume e número de mols fixos, e as energias E^{(1)} e E^{(2)} podem variar sujeitas à conservação
E^{(1)}+E^{(2)}=\text{constante}.
Queremos encontrar a condição de equilíbrio termodinâmico pelo princípio da entropia máxima, sabendo que no equilíbrio dS=0, que a entropia total é
S=S^{(1)}+S^{(2)}
e que
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial E}\Bigr)_{V}=\frac{1}{T}\,.

Passo 2

A condição de equilíbrio impõe
dS=0
e, como
S=S^{(1)}+S^{(2)},
temos
dS=dS^{(1)}+dS^{(2)}\,.

Passo 3

Pela relação termodinâmica
\Bigl(\frac{\partial S^{(i)}}{\partial E^{(i)}}\Bigr)_{V}=\frac{1}{T^{(i)}},
cada diferencial de entropia é
dS^{(i)}=\frac{1}{T^{(i)}}\,dE^{(i)}.
Logo
dS=\frac{1}{T^{(1)}}\,dE^{(1)}+\frac{1}{T^{(2)}}\,dE^{(2)}.

Passo 4

Como a energia total se conserva,
dE^{(1)}+dE^{(2)}=0 \quad\Longrightarrow\quad dE^{(2)}=-\,dE^{(1)}.
Substituindo em dS e impondo dS=0, obtemos
0=\frac{1}{T^{(1)}}\,dE^{(1)}+\frac{1}{T^{(2)}}(-dE^{(1)}) =\Bigl(\frac{1}{T^{(1)}}-\frac{1}{T^{(2)}}\Bigr)\,dE^{(1)}.
Como dE^{(1)} é arbitrário, devemos ter
\frac{1}{T^{(1)}}=\frac{1}{T^{(2)}} \quad\Longrightarrow\quad T^{(1)}=T^{(2)}.

Resposta

T^{(1)}=T^{(2)}

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