Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0).
f) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas em função do tempo são dadas pelos vetores r1 = (4t, t^2, 0) e r2 = (2t, t^4, 0). Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de centro de massa e derivadas para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição do centro de massa ( rCM). Como as duas partículas têm a mesma massa, o centro de massa é simplesmente a média das posições delas. A fórmula é:
rCM = r1 + r22
Vamos somar as componentes correspondentes dos vetores r1 e r2:
rCM = (4t + 2t, t^2 + t^4, 0 + 0)2 = (6t, t^2 + t^4, 0)2
Simplificando:
rCM = (3t, t^2 + t^42, 0)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade do centro de massa ( vCM). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de rCM:
vCM = drCMdt = (ddt(3t), ddt(t^2 + t^42), ddt(0))
Calculando as derivadas:
vCM = (3, 2t + 4t^32, 0) = (3, t + 2t^3, 0)

Passo 4

Por fim, vamos determinar o vetor aceleração do centro de massa ( aCM). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de vCM:
aCM = dvCMdt = (ddt(3), ddt(t + 2t^3), ddt(0))
Calculando as derivadas:
aCM = (0, 1 + 6t^2, 0)

Resposta

Então, o centro de massa do sistema tem os seguintes vetores:
  • Vetor Posição:
    rCM = (3t, t^2 + t^42, 0)
  • Vetor Velocidade:
    vCM = (3, t + 2t^3, 0)
  • Vetor Aceleração:
    aCM = (0, 1 + 6t^2, 0)

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