Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
.
a) Qual o vetor velocidade e aceleração de cada partícula?
b) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
c) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
d) Qual o momento angular de cada partícula?
e) Qual a soma dos torques sobre cada partícula?
f) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
g) Calcule a quantidade de movimento total do sistema.
h) Calcule a soma das forças sobre o sistema.
i) Calcule o momento angular total do sistema.
j) Calcule a soma dos torques sobre o sistema.
a) Qual o vetor velocidade e aceleração de cada partícula?
b) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
c) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
d) Qual o momento angular de cada partícula?
e) Qual a soma dos torques sobre cada partícula?
f) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
g) Calcule a quantidade de movimento total do sistema.
h) Calcule a soma das forças sobre o sistema.
i) Calcule o momento angular total do sistema.
j) Calcule a soma dos torques sobre o sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com duas partículas, cada uma de massa
, e as suas posições em função do tempo:
As perguntas são, passo a passo:
a) calcular vetor velocidade e vetor aceleração de cada partícula;
b) calcular a quantidade de movimento (momento linear) de cada partícula;
c) calcular a soma das forças sobre cada partícula;
d) calcular o momento angular de cada partícula;
e) calcular a soma dos torques sobre cada partícula;
f) calcular o vetor posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema;
g) calcular a quantidade de movimento total do sistema;
h) calcular a soma das forças sobre o sistema;
i) calcular o momento angular total do sistema;
j) calcular a soma dos torques sobre o sistema.
a) calcular vetor velocidade e vetor aceleração de cada partícula;
b) calcular a quantidade de movimento (momento linear) de cada partícula;
c) calcular a soma das forças sobre cada partícula;
d) calcular o momento angular de cada partícula;
e) calcular a soma dos torques sobre cada partícula;
f) calcular o vetor posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema;
g) calcular a quantidade de movimento total do sistema;
h) calcular a soma das forças sobre o sistema;
i) calcular o momento angular total do sistema;
j) calcular a soma dos torques sobre o sistema.
Dados relevantes listados explicitamente:
As componentes de
e
estão todas no plano
(terceira componente zero). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Velocidade e aceleração: definição e cálculo (a).
- Definição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
. A aceleração é a derivada da velocidade: . - Calculemos para a partícula 1:
. - Derivando componente a componente:
- Calculemos para a partícula 2:
. - Derivando:
Resumo da parte (a):
Passo 3
Quantidade de movimento (momento linear) de cada partícula (b).
- Definição: a quantidade de movimento de uma partícula é
, onde é a massa e a velocidade. - Aplicando para cada partícula (com
):
Passo 4
Soma das forças sobre cada partícula (c).
- Teoria (segunda lei de Newton): a força resultante sobre uma partícula é
. - Calculando:
Passo 5
Momento angular de cada partícula (d).
- Definição: o momento angular (angular momentum) de uma partícula, relativo à origem, é
, produto vetorial entre posição e quantidade de movimento. - Observação prática: aqui
e , então o produto vetorial tem apenas componente não nula: - Para a partícula 1:
- Usei
.
- Usei
- Para a partícula 2:
- Usei
.
- Usei
Passo 6
Soma dos torques sobre cada partícula (e).
- Definição: o torque (momento da força) em relação à origem é
. - Como antes, só a componente
pode ser não nula: - Para a partícula 1: usei
, então .
- Para a partícula 2:
.
- Checagem rápida (importante para prova): note que
e , consistente com quando só forças externas agem (aqui usamos origem fixa).
Passo 7
Centro de massa: posição, velocidade e aceleração (f).
- Definição: posição do centro de massa de um sistema discreto é
onde é a massa total. - Aqui
. - Calculemos
e :
Somando e dividindo por
:
- Velocidade do centro de massa: derivada de
: (derivada de é ; de é .) - Aceleração do centro de massa:
Passo 8
Quantidade de movimento total do sistema (g).
- A quantidade de movimento total é a soma vetorial dos momentos lineares:
- Usando os resultados do Passo 3:
- Verificação útil:
, coincide — bom sinal.
Passo 9
Soma das forças sobre o sistema (h).
- A soma das forças externas resultantes no sistema é a soma das forças sobre as partículas (se considerarmos aqui só as forças resultantes em cada partícula):
- Usando o Passo 4:
- Verificação:
.
Passo 10
Momento angular total e soma dos torques sobre o sistema (i) e (j).
- Momento angular total:
- Soma dos torques:
- Checagem:
, consistência confirmada.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)