Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores \boldsymbol{r}_{1}=\left(4 t, t^{2}, 0\right), \boldsymbol{r}_{2}=\left(2 t, t^{4}, 0\right).
a) Qual o vetor velocidade e aceleração de cada partícula?
b) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
c) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
d) Qual o momento angular de cada partícula?
e) Qual a soma dos torques sobre cada partícula?
f) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
g) Calcule a quantidade de movimento total do sistema.
h) Calcule a soma das forças sobre o sistema.
i) Calcule o momento angular total do sistema.
j) Calcule a soma dos torques sobre o sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com duas partículas, cada uma de massa 2\\ \text{kg}, e as suas posições em função do tempo:
\boldsymbol{r}_{1}(t)=\left(4t,\;t^{2},\;0\right),\qquad \boldsymbol{r}_{2}(t)=\left(2t,\;t^{4},\;0\right).
As perguntas são, passo a passo:
a) calcular vetor velocidade e vetor aceleração de cada partícula;
b) calcular a quantidade de movimento (momento linear) de cada partícula;
c) calcular a soma das forças sobre cada partícula;
d) calcular o momento angular de cada partícula;
e) calcular a soma dos torques sobre cada partícula;
f) calcular o vetor posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema;
g) calcular a quantidade de movimento total do sistema;
h) calcular a soma das forças sobre o sistema;
i) calcular o momento angular total do sistema;
j) calcular a soma dos torques sobre o sistema.
Dados relevantes listados explicitamente:
m_{1}=m_{2}=2\\ \text{kg}.
As componentes de \boldsymbol{r}_1 e \boldsymbol{r}_2 estão todas no plano xy (terceira componente zero). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Velocidade e aceleração: definição e cálculo (a).
  • Definição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \boldsymbol{v}=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}. A aceleração é a derivada da velocidade: \boldsymbol{a}=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}}.
  • Calculemos para a partícula 1: \boldsymbol{r}_{1}(t)=\left(4t,\;t^{2},\;0\right).
    • Derivando componente a componente:
    \boldsymbol{v}_{1}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}_{1}}{dt}=\left(\frac{d}{dt}(4t),\;\frac{d}{dt}(t^{2}),\;0\right)=\left(4,\;2t,\;0\right).
\boldsymbol{a}_{1}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}_{1}}{dt}=\left(\frac{d}{dt}(4),\;\frac{d}{dt}(2t),\;0\right)=\left(0,\;2,\;0\right).
  • Calculemos para a partícula 2: \boldsymbol{r}_{2}(t)=\left(2t,\;t^{4},\;0\right).
    • Derivando:
    \boldsymbol{v}_{2}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}_{2}}{dt}=\left(\frac{d}{dt}(2t),\;\frac{d}{dt}(t^{4}),\;0\right)=\left(2,\;4t^{3},\;0\right).
\boldsymbol{a}_{2}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}_{2}}{dt}=\left(0,\;12t^{2},\;0\right).
Resumo da parte (a):
\boldsymbol{v}_{1}=(4,\;2t,\;0),\quad \boldsymbol{a}_{1}=(0,\;2,\;0),
\boldsymbol{v}_{2}=(2,\;4t^{3},\;0),\quad \boldsymbol{a}_{2}=(0,\;12t^{2},\;0).

Passo 3

Quantidade de movimento (momento linear) de cada partícula (b).
  • Definição: a quantidade de movimento de uma partícula é \boldsymbol{p}=m\,\boldsymbol{v}, onde m é a massa e \boldsymbol{v} a velocidade.
  • Aplicando para cada partícula (com m=2\\ \text{kg}): \boldsymbol{p}_{1}=2\,\boldsymbol{v}_{1}=2\,(4,\;2t,\;0)=(8,\;4t,\;0).
\boldsymbol{p}_{2}=2\,\boldsymbol{v}_{2}=2\,(2,\;4t^{3},\;0)=(4,\;8t^{3},\;0).

Passo 4

Soma das forças sobre cada partícula (c).
  • Teoria (segunda lei de Newton): a força resultante sobre uma partícula é \boldsymbol{F}=m\,\boldsymbol{a}.
  • Calculando: \boldsymbol{F}_{1}=2\,\boldsymbol{a}_{1}=2\,(0,\;2,\;0)=(0,\;4,\;0).
\boldsymbol{F}_{2}=2\,\boldsymbol{a}_{2}=2\,(0,\;12t^{2},\;0)=(0,\;24t^{2},\;0).

Passo 5

Momento angular de cada partícula (d).
  • Definição: o momento angular (angular momentum) de uma partícula, relativo à origem, é \boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}, produto vetorial entre posição e quantidade de movimento.
  • Observação prática: aqui \boldsymbol{r}=(x,y,0) e \boldsymbol{p}=(p_x,p_y,0), então o produto vetorial tem apenas componente z não nula: \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}=(0,\;0,\;x p_{y}-y p_{x}).
  • Para a partícula 1:
    • Usei x_{1}=4t,\;y_{1}=t^{2},\;p_{1x}=8,\;p_{1y}=4t.
    L_{1z}=4t\cdot(4t)-t^{2}\cdot 8=16t^{2}-8t^{2}=8t^{2}.
\boldsymbol{L}_{1}=(0,\;0,\;8t^{2}).
  • Para a partícula 2:
    • Usei x_{2}=2t,\;y_{2}=t^{4},\;p_{2x}=4,\;p_{2y}=8t^{3}.
    L_{2z}=2t\cdot(8t^{3})-t^{4}\cdot 4=16t^{4}-4t^{4}=12t^{4}.
\boldsymbol{L}_{2}=(0,\;0,\;12t^{4}).

Passo 6

Soma dos torques sobre cada partícula (e).
  • Definição: o torque (momento da força) em relação à origem é \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}.
  • Como antes, só a componente z pode ser não nula: \boldsymbol{\tau}=(0,\;0,\;xF_{y}-yF_{x}).
  • Para a partícula 1: usei \boldsymbol{F}_{1}=(0,4,0), então F_{1x}=0,\,F_{1y}=4. \tau_{1z}=4t\cdot 4 - t^{2}\cdot 0 = 16t.
\boldsymbol{\tau}_{1}=(0,\;0,\;16t).
  • Para a partícula 2: \boldsymbol{F}_{2}=(0,24t^{2},0). \tau_{2z}=2t\cdot 24t^{2} - t^{4}\cdot 0 = 48t^{3}.
\boldsymbol{\tau}_{2}=(0,\;0,\;48t^{3}).
  • Checagem rápida (importante para prova): note que \dfrac{d\boldsymbol{L}_{1}}{dt}=(0,0,16t)=\boldsymbol{\tau}_{1} e \dfrac{d\boldsymbol{L}_{2}}{dt}=(0,0,48t^{3})=\boldsymbol{\tau}_{2}, consistente com \boldsymbol{\tau}=\dfrac{d\boldsymbol{L}}{dt} quando só forças externas agem (aqui usamos origem fixa).

Passo 7

Centro de massa: posição, velocidade e aceleração (f).
  • Definição: posição do centro de massa de um sistema discreto é \boldsymbol{R}_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_{i}\,\boldsymbol{r}_{i},onde M=\sum_i m_i é a massa total.
  • Aqui M=m_{1}+m_{2}=2+2=4\\ \text{kg}.
  • Calculemos m_{1}\boldsymbol{r}_{1} e m_{2}\boldsymbol{r}_{2}: m_{1}\boldsymbol{r}_{1}=2\,(4t,\;t^{2},\;0)=(8t,\;2t^{2},\;0),
m_{2}\boldsymbol{r}_{2}=2\,(2t,\;t^{4},\;0)=(4t,\;2t^{4},\;0).
Somando e dividindo por M=4:
\boldsymbol{R}_{\text{cm}}=\frac{(8t+4t,\;2t^{2}+2t^{4},\;0)}{4}=\left(3t,\;\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t^{4},\;0\right).
  • Velocidade do centro de massa: derivada de \boldsymbol{R}_{\text{cm}}: \boldsymbol{V}_{\text{cm}}=\frac{d\boldsymbol{R}_{\text{cm}}}{dt}=\left(3,\;t+2t^{3},\;0\right).(derivada de \tfrac{1}{2}t^{2} é t; de \tfrac{1}{2}t^{4} é 2t^{3}.)
  • Aceleração do centro de massa: \boldsymbol{A}_{\text{cm}}=\frac{d\boldsymbol{V}_{\text{cm}}}{dt}=\left(0,\;1+6t^{2},\;0\right).

Passo 8

Quantidade de movimento total do sistema (g).
  • A quantidade de movimento total é a soma vetorial dos momentos lineares: \boldsymbol{P}_{\text{tot}}=\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}.
  • Usando os resultados do Passo 3: \boldsymbol{P}_{\text{tot}}=(8,\;4t,\;0)+(4,\;8t^{3},\;0)=(12,\;4t+8t^{3},\;0).
  • Verificação útil: \boldsymbol{P}_{\text{tot}}=M\boldsymbol{V}_{\text{cm}}=4\,(3,\;t+2t^{3},\;0)=(12,\;4t+8t^{3},\;0), coincide — bom sinal.

Passo 9

Soma das forças sobre o sistema (h).
  • A soma das forças externas resultantes no sistema é a soma das forças sobre as partículas (se considerarmos aqui só as forças resultantes em cada partícula): \boldsymbol{F}_{\text{tot}}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}.
  • Usando o Passo 4: \boldsymbol{F}_{\text{tot}}=(0,4,0)+(0,24t^{2},0)=(0,\;4+24t^{2},\;0).
  • Verificação: \boldsymbol{F}_{\text{tot}}=M\boldsymbol{A}_{\text{cm}}=4\,(0,\;1+6t^{2},\;0)=(0,\;4+24t^{2},\;0).

Passo 10

Momento angular total e soma dos torques sobre o sistema (i) e (j).
  • Momento angular total: \boldsymbol{L}_{\text{tot}}=\boldsymbol{L}_{1}+\boldsymbol{L}_{2}=(0,\;0,\;8t^{2})+(0,\;0,\;12t^{4})=(0,\;0,\;8t^{2}+12t^{4}).
  • Soma dos torques: \boldsymbol{\tau}_{\text{tot}}=\boldsymbol{\tau}_{1}+\boldsymbol{\tau}_{2}=(0,\;0,\;16t)+(0,\;0,\;48t^{3})=(0,\;0,\;16t+48t^{3}).
  • Checagem: \dfrac{d\boldsymbol{L}_{\text{tot}}}{dt}=(0,0,16t+48t^{3})=\boldsymbol{\tau}_{\text{tot}}, consistência confirmada.

Resposta

a) \boldsymbol{v}_{1}=(4,\;2t,\;0),\quad \boldsymbol{a}_{1}=(0,\;2,\;0);\quad \boldsymbol{v}_{2}=(2,\;4t^{3},\;0),\quad \boldsymbol{a}_{2}=(0,\;12t^{2},\;0).
b) \boldsymbol{p}_{1}=(8,\;4t,\;0),\quad \boldsymbol{p}_{2}=(4,\;8t^{3},\;0).
c) \boldsymbol{F}_{1}=(0,\;4,\;0),\quad \boldsymbol{F}_{2}=(0,\;24t^{2},\;0).
d) \boldsymbol{L}_{1}=(0,\;0,\;8t^{2}),\quad \boldsymbol{L}_{2}=(0,\;0,\;12t^{4}).
e) \boldsymbol{\tau}_{1}=(0,\;0,\;16t),\quad \boldsymbol{\tau}_{2}=(0,\;0,\;48t^{3}).
f) \boldsymbol{R}_{\text{cm}}=\left(3t,\;\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{2}t^{4},\;0\right),\quad \boldsymbol{V}_{\text{cm}}=(3,\;t+2t^{3},\;0),\quad \boldsymbol{A}_{\text{cm}}=(0,\;1+6t^{2},\;0).
g) \boldsymbol{P}_{\text{tot}}=(12,\;4t+8t^{3},\;0).
h) \boldsymbol{F}_{\text{tot}}=(0,\;4+24t^{2},\;0).
i) \boldsymbol{L}_{\text{tot}}=(0,\;0,\;8t^{2}+12t^{4}).
j) \boldsymbol{\tau}_{\text{tot}}=(0,\;0,\;16t+48t^{3}).

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