No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron, com carga e e massa de repouso m_{0}, percorre uma órbita circular estável de raio r tal que o módulo do momento angular L obedece à regra de quantização L=n \hbar. Despreze efeitos relativísticos.
(a) (1,0 ponto) Calcule a velocidade do elétron em termos de n, e, m_{0} e demais constantes físicas.
(b) (1,0 ponto) Calcule a frequência do fóton emitido quando o elétron faz uma transição do nível n=3 para n=2. Expresse sua resposta em termos de R_{H} e demais constantes.
(c) ( 0,5 ponto) Suponha agora que o elétron faça uma transição do nível n=3 para n=1 com emissão de um fóton. Calcule a diferença de momento angular do elétron antes e depois da transição, segundo o modelo de Bohr.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados importantes:
  • Um elétron de carga e e massa de repouso m_{0} descreve uma órbita circular de raio r.
  • A regra de quantização do momento angular é \displaystyle L = n\hbar, com n=1,2,3,\dots.
  • Desprezam-se efeitos relativísticos.
  • Constantes elétricas e fundamentais disponíveis: a permissividade do vácuo \varepsilon_{0}, a constante de Planck h e sua versão \hbar=h/(2\pi), a velocidade da luz c, etc.
  • O enunciado usa o símbolo R_{H} (constante de Rydberg para o hidrogênio).
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade do elétron em termos de n, e, m_{0} e demais constantes físicas.
(b) Calcular a frequência do fóton emitido quando o elétron faz a transição n=3\to n=2, expressando a resposta em termos de R_{H} e demais constantes.
(c) Para a transição n=3\to n=1, calcular a diferença do momento angular do elétron antes e depois da transição segundo o modelo de Bohr.

Passo 2

Primeiro vamos obter a velocidade usando duas condições físicas do modelo de Bohr para órbita circular:
  1. equilíbrio entre força coulombiana e força centrípeta;
  2. quantização do momento angular.
A força eletrostática (módulo) entre o núcleo (próton) e o elétron é dada por Coulomb:
F_{\text{Coulomb}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita circular é
F_{\text{centrip}}=m_{0}\frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade orbital do elétron e m_{0} é sua massa de repouso.
Igualando as duas forças (equilíbrio):
m_{0}\frac{v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando (multiplicando ambos os lados por r):
m_{0}v^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.

Passo 3

Agora usamos a quantização do momento angular no modelo de Bohr:
L=m_{0} v r = n\hbar.
Dessa igualdade isolamos r em função de v:
r=\frac{n\hbar}{m_{0}v}.
Substituímos essa expressão de r na equação de equilíbrio de forças obtida no passo anterior:
m_{0}v^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{\,\dfrac{n\hbar}{m_{0}v}\,} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}m_{0}v}{n\hbar}.
Agora dividimos ambos os lados por m_{0}v (observe que v\neq0):
v=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{n\hbar}.
Portanto a velocidade do elétron no nível n é
\boxed{v=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{n\hbar}.}
Comentário pedagógico rápido: surpreendentemente a massa m_{0} cancela — no modelo de Bohr a velocidade depende de n, da carga e de constantes, mas não da massa do elétron explicitamente. Também podemos escrever essa velocidade em termos da constante de estrutura fina \alpha como v=(\alpha c)/n, usando \alpha=\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar c}, caso prefira um formato mais compacto.

Passo 4

Para calcular a frequência do fóton emitido numa transição, precisamos das energias dos níveis. No modelo de Bohr a energia total do elétron na órbita n é soma da energia cinética K e da energia potencial U. Usamos as relações já vistas:
A energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m_{0}v^{2}.
A energia potencial elétrica (módulo, com sinal negativo por ser atração) é
U=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
Usando a condição de equilíbrio das forças obtida antes m_{0}v^{2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{r}, temos
K=\tfrac{1}{2}m_{0}v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
Portanto a energia total E_{n}=K+U é
E_{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.

Passo 5

Agora expressamos r em função de n para colocar E_{n} em função de n. Já derivamos a relação entre r e n antes (usando L=n\hbar e equilíbrio de forças); explicitamente:
r_{n}=\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_{0}}\cdot\frac{1}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}e^{2}} =\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{0}e^{2}}\,n^{2}.
Substituindo r_{n} em E_{n}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{r_{n}} obtemos, após simplificação,
E_{n}=-\frac{m_{0}e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
(Se preferir ver a passagem com \hbar: usar \hbar=h/(2\pi) e 1/(4\pi\varepsilon_{0}) para escrever o mesmo resultado; o fator final acima está correto.)

Passo 6

Ligando E_{n} com a constante de Rydberg: é comum escrever
E_{n}=-\frac{hcR_{H}}{n^{2}},
onde R_{H} é a constante de Rydberg para o hidrogênio (no SI R_{H} tem dimensão de comprimento^{-1}). A comparação entre as duas formas leva à relação
R_{H}=\frac{m_{0}e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}c}.
Queremos a frequência do fóton emitido na transição n=3\to n=2. A energia do fóton é a diferença de energia entre os níveis:
h\nu = E_{3}-E_{2}.
Usando E_{n}=-\dfrac{hcR_{H}}{n^{2}}, temos
h\nu = -hcR_{H}\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) =hcR_{H}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right).
Dividindo por h para obter a frequência:
\nu = cR_{H}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right).

Passo 7

Calcule explicitamente o fator numérico para n=3\to n=2:
\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.
Logo a frequência do fóton é
\boxed{\nu = cR_{H}\,\frac{5}{36}.}

Passo 8

Agora a parte (c): diferença do momento angular do elétron entre os níveis n=3 (antes) e n=1 (depois).
No modelo de Bohr o momento angular é quantizado por:
L_{n}=n\hbar.
Portanto antes da transição L_{\text{antes}}=L_{3}=3\hbar e depois L_{\text{depois}}=L_{1}=1\hbar. A diferença (antes menos depois) é
\Delta L = L_{3}-L_{1}=3\hbar-1\hbar=2\hbar.
Isso significa que o elétron perde 2\hbar de momento angular nessa transição.

Resposta

(a) \displaystyle v=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{n\hbar}.
(b) \displaystyle \nu = cR_{H}\,\frac{5}{36}.
(c) \displaystyle \Delta L = 2\hbar.

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