No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron, com carga
e massa de repouso
, percorre uma órbita circular estável de raio
tal que o módulo do momento angular
obedece à regra de quantização
. Despreze efeitos relativísticos.
(a) (1,0 ponto) Calcule a velocidade do elétron em termos de
e demais constantes físicas.
(b) (1,0 ponto) Calcule a frequência do fóton emitido quando o elétron faz uma transição do nível
para
. Expresse sua resposta em termos de
e demais constantes.
(c) ( 0,5 ponto) Suponha agora que o elétron faça uma transição do nível
para
com emissão de um fóton. Calcule a diferença de momento angular do elétron antes e depois da transição, segundo o modelo de Bohr.
(a) (1,0 ponto) Calcule a velocidade do elétron em termos de
(b) (1,0 ponto) Calcule a frequência do fóton emitido quando o elétron faz uma transição do nível
(c) ( 0,5 ponto) Suponha agora que o elétron faça uma transição do nível
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados importantes:
- Um elétron de carga
e massa de repouso descreve uma órbita circular de raio . - A regra de quantização do momento angular é
, com . - Desprezam-se efeitos relativísticos.
- Constantes elétricas e fundamentais disponíveis: a permissividade do vácuo
, a constante de Planck e sua versão , a velocidade da luz , etc. - O enunciado usa o símbolo
(constante de Rydberg para o hidrogênio).
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade do elétron em termos de e demais constantes físicas.
(b) Calcular a frequência do fóton emitido quando o elétron faz a transição , expressando a resposta em termos de
e demais constantes.
(c) Para a transição , calcular a diferença do momento angular do elétron antes e depois da transição segundo o modelo de Bohr.
(a) Calcular a velocidade do elétron em termos de
(b) Calcular a frequência do fóton emitido quando o elétron faz a transição
(c) Para a transição
Passo 2
Primeiro vamos obter a velocidade usando duas condições físicas do modelo de Bohr para órbita circular:
- equilíbrio entre força coulombiana e força centrípeta;
- quantização do momento angular.
A força eletrostática (módulo) entre o núcleo (próton) e o elétron é dada por Coulomb:
A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita circular é
onde
é a velocidade orbital do elétron e
é sua massa de repouso.
Igualando as duas forças (equilíbrio):
Simplificando (multiplicando ambos os lados por
):
Passo 3
Agora usamos a quantização do momento angular no modelo de Bohr:
Dessa igualdade isolamos
em função de
:
Substituímos essa expressão de
na equação de equilíbrio de forças obtida no passo anterior:
Agora dividimos ambos os lados por
(observe que
):
Portanto a velocidade do elétron no nível
é
Comentário pedagógico rápido: surpreendentemente a massa
cancela — no modelo de Bohr a velocidade depende de
, da carga e de constantes, mas não da massa do elétron explicitamente. Também podemos escrever essa velocidade em termos da constante de estrutura fina
como
, usando
, caso prefira um formato mais compacto.
Passo 4
Para calcular a frequência do fóton emitido numa transição, precisamos das energias dos níveis. No modelo de Bohr a energia total do elétron na órbita
é soma da energia cinética
e da energia potencial
. Usamos as relações já vistas:
A energia cinética é
A energia potencial elétrica (módulo, com sinal negativo por ser atração) é
Usando a condição de equilíbrio das forças obtida antes
, temos
Portanto a energia total
é
Passo 5
Agora expressamos
em função de
para colocar
em função de
. Já derivamos a relação entre
e
antes (usando
e equilíbrio de forças); explicitamente:
Substituindo
em
obtemos, após simplificação,
(Se preferir ver a passagem com
: usar
e
para escrever o mesmo resultado; o fator final acima está correto.)
Passo 6
Ligando
com a constante de Rydberg: é comum escrever
onde
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (no SI
tem dimensão de comprimento^{-1}). A comparação entre as duas formas leva à relação
Queremos a frequência do fóton emitido na transição
. A energia do fóton é a diferença de energia entre os níveis:
Usando
, temos
Dividindo por
para obter a frequência:
Passo 7
Calcule explicitamente o fator numérico para
:
Logo a frequência do fóton é
Passo 8
Agora a parte (c): diferença do momento angular do elétron entre os níveis
(antes) e
(depois).
No modelo de Bohr o momento angular é quantizado por:
Portanto antes da transição
e depois
. A diferença (antes menos depois) é
Isso significa que o elétron perde
de momento angular nessa transição.
Resposta
(a)
(b)
(c)