Considere um sistema de controle no qual
Deseja-se que o ponto
faça parte do Diagrama de Lugar das Raízes. Qual dos controladores a seguir deve ser utilizado?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos ao enunciado: temos a planta em malha aberta
E a gente quer que o ponto
fique no Lugar das Raízes. Para isso, precisamos escolher entre os controladores dados (a)–(e) aquele que faz a condição de ângulo do Lugar das Raízes ser satisfeita em
.
O conteúdo aqui é Lugar das Raízes, mais especificamente a condição de ângulo:
um ponto pertence ao Lugar das Raízes se
um ponto
Passo 2
Vamos relembrar direitinho a teoria da condição de ângulo:
- Para cada zero em
, o vetor contribui com o ângulo . - Para cada pólo em
, o vetor contribui com . - O ponto
está no Lugar das Raízes se a diferença entre soma de ângulos de zeros e de polos for ímpar de :
Passo 3
Primeiro identifiquemos os polos da planta original:
E não há zeros na planta.
Agora, cada controlador adiciona um zero em
e um pólo em
.
Agora, cada controlador
Vamos testar cada opção calculando os ângulos em
. O truque é ver qual delas fecha
.
Passo 4
Vou mostrar só o teste da opção (e), que é a ganhadora.
Opção (e):
No ponto
:
- Ângulo do zero
:
- Ângulo do pólo
:
- Ângulos dos polos da planta:
- em
: - em
:
- em
:
- em
Somando tudo:
Logo
que é
. Perfeito, satisfaz a condição de ângulo!
Nenhuma outra opção fecha esse balanço em
em
.
Resposta
O controlador correto é a opção (e):