Considere um sistema de controle no qual
GP(s) H(s)=20(s+1)(s^2+4 s+10)
Deseja-se que o ponto s1=-3 faça parte do Diagrama de Lugar das Raízes. Qual dos controladores a seguir deve ser utilizado?
a) G(s)=K(s+2)s+10
b) G(s)=K(s-2)s+5
c) G(s)=K(s+4)s+2
d) G(s)=K(s+5)s+1
e) G(s)=K(s+5)s+10

Passo 1

Beleza, vamos ao enunciado: temos a planta em malha aberta
GP(s)H(s)=20(s+1),(s^2+4s+10)
E a gente quer que o ponto sum ang<=(s - zeros) - sum ang<=(s - polos) = (2k+1),180^circ fique no Lugar das Raízes. Para isso, precisamos escolher entre os controladores dados (a)–(e) aquele que faz a condição de ângulo do Lugar das Raízes ser satisfeita em .
O conteúdo aqui é Lugar das Raízes, mais especificamente a condição de ângulo:
um ponto pertence ao Lugar das Raízes se

Passo 2

Vamos relembrar direitinho a teoria da condição de ângulo:
  • Para cada zero em sumi ang<=(s - zi);-;sumj ang<=(s - pj) ;=;(2k+1),180^circ , o vetor contribui com o ângulo .
  • Para cada pólo em , o vetor contribui com .
  • O ponto está no Lugar das Raízes se a diferença entre soma de ângulos de zeros e de polos for ímpar de :

Passo 3

Primeiro identifiquemos os polos da planta original:
(s+1),(s^2+4s+10)=0 ;Longrightarrow; p1=-1, p2,3=-2pm jraiz6 (approx -2pm j2,45)
E não há zeros na planta.
Agora, cada controlador adiciona um zero em e um pólo em .
Vamos testar cada opção calculando os ângulos em . O truque é ver qual delas fecha
.

Passo 4

Vou mostrar só o teste da opção (e), que é a ganhadora.
Opção (e):
G(s)=K(s+5)s+10 Longrightarrow zero em zc=-5, pólo em pc=-10 ó
No ponto sum ang<=(zeros) =0^circ, sum ang<=(polos) = 0 + 180 + (-112.2 +112.2) =180^circ :
  • Ângulo do zero sumang<=(zeros) -sumang<=(polos) =0^circ - 180^circ = -180^circ, :
  • Ângulo do pólo :
  • Ângulos dos polos da planta:
    1. em :
    2. em :
    3. em :
Somando tudo:
Logo
que é . Perfeito, satisfaz a condição de ângulo!
Nenhuma outra opção fecha esse balanço em em .

Resposta

O controlador correto é a opção (e):
boxed,G(s)=K,(s+5)s+10,

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