Considere um sistema de dois elétrons no mesmo estado espacial. Sobre a estrutura das funções de spin e suas relações com o Princípio de Exclusão de Pauli, assinale a alternativa correta:
A) O estado tripleto (
) possui uma componente antissimétrica em spin, permitindo que dois elétrons ocupem o mesmo orbital espacial.
B) O estado singleto
é simétrico em spin, portanto exige uma função espacial antissimétrica.
C) O estado singleto é antissimétrico em spin e, em conjunto com uma parte espacial simétrica, satisfaz o Princípio de Exclusão de Pauli.
D) Os três estados tripletes são antissimétricos e, portanto, proíbem que elétrons compartilhem o mesmo estado espacial.
E) A simetria da parte espacial não interfere na possibilidade de dois elétrons ocuparem o mesmo estado.
A) O estado tripleto (
B) O estado singleto
C) O estado singleto é antissimétrico em spin e, em conjunto com uma parte espacial simétrica, satisfaz o Princípio de Exclusão de Pauli.
D) Os três estados tripletes são antissimétricos e, portanto, proíbem que elétrons compartilhem o mesmo estado espacial.
E) A simetria da parte espacial não interfere na possibilidade de dois elétrons ocuparem o mesmo estado.
Passo 1
O enunciado pede para assinalar a alternativa correta sobre a simetria das funções de spin para um sistema de dois elétrons no mesmo estado espacial. Informação dada e objetivo:
- Dado: são dois elétrons (férmions) e eles estão no mesmo estado espacial.
- Objetivo: escolher a alternativa correta entre A, B, C, D e E sobre a simetria do estado de spin (singleto/tripleto) e sua relação com o Princípio de Exclusão de Pauli.
Passo 2
Princípio físico fundamental (explicado devagar e sem jargão): elétrons são férmions, e a função de onda total de dois férmions deve ser antissimétrica sob troca das partículas. Isso significa que, se trocarmos as etiquetas dos dois elétrons
, a função total muda de sinal. Escrevendo a função total como produto da parte espacial e da parte de spin,
a condição de antissimetria exige
Portanto, a simetria global sob troca é negativa, o que implica que a simetria da parte espacial e da parte de spin devem ser opostas: se uma é simétrica, a outra deve ser antissimétrica, e vice-versa.
Passo 3
Vamos definir o que é “simétrico” e “antissimétrico” ao trocar partículas:
- Uma função
é simétrica se . - É antissimétrica se
.
Aplicando isso ao produto espacial×spin: se
for simétrica então
tem que ser antissimétrica, e se
for antissimétrica então
pode ser simétrica. Isso vem diretamente da condição de antissimetria do total.
Passo 4
Agora explicitamente os estados de spin de dois elétrons (usar notação de kets para ficar claro). Definindo
e
como os estados de spin de cada elétron, os três estados do tripleto (
) são:
Verificação de simetria: cada um desses estados satisfaz
, isto é, são funções simétricas sob troca das partículas. Assim, os três estados do tripleto são simétricos em spin.]
Passo 5
O estado singleto (
) é o único estado restante de dois spins-1/2:
Verificação de simetria: esse estado troca de sinal quando permuta-se as partículas, ou seja
. Portanto o singleto é antissimétrico em spin.
Passo 6
Consequence prática para dois elétrons no mesmo orbital espacial: se ambos ocupam o mesmo orbital
(mesmo estado espacial), a função espacial de dois corpos apropriada seria proporcional a
que é simétrica porque trocar
deixa
inalterada. Logo, para que o total seja antissimétrico (como exige Pauli), a parte de spin precisa ser antissimétrica. Em símbolos: simetria espacial
spin deve ser antissimétrico. Como vimos no Passo 5, isso significa que o único estado de spin compatível é o singleto. Se a parte de spin fosse simétrica (tripleto), a parte espacial teria que ser antissimétrica; mas uma função espacial antissimétrica não pode ser construída com
quando os dois ocupam exatamente o mesmo orbital — nesse caso a combinação antissimétrica seria zero:
Isso mostra por que dois elétrons com spin paralelo (tripletos) não podem ocupar o mesmo orbital espacial.
Passo 7
Aplicando tudo às alternativas:
- A) Incorreta: o tripleto é simétrico em spin, não antissimétrico; portanto a conclusão da alternativa é falsa.
- B) Incorreta: diz que o singleto é simétrico em spin — falso, o singleto é antissimétrico.
- C) Correta: afirma que o singleto é antissimétrico em spin e que, junto com uma parte espacial simétrica, satisfaz Pauli — isso é exatamente o que deduzimos.
- D) Incorreta: os três estados do tripleto são simétricos (não antissimétricos) e proíbem ocupar o mesmo estado espacial — a parte “proíbem” está correta, mas a afirmação sobre serem antissimétricos está errada.
- E) Incorreta: a simetria da parte espacial interfere sim — é precisamente a combinação de simetria espacial e de spin que determina se dois elétrons podem ocupar o mesmo orbital.
Passo 8
Recapitulando em linguagem de prova (curto e útil): para dois elétrons no mesmo orbital espacial a parte espacial é simétrica, portanto pela antissimetria total exigida para férmions a parte de spin deve ser antissimétrica — isto é, o estado singleto. Assim a alternativa correta é a que diz isso.
Resposta
C