Considere um sistema de dois elétrons no mesmo estado espacial. Sobre a estrutura das funções de spin e suas relações com o Princípio de Exclusão de Pauli, assinale a alternativa correta:
A) O estado tripleto ( S=1 ) possui uma componente antissimétrica em spin, permitindo que dois elétrons ocupem o mesmo orbital espacial.
B) O estado singleto (S=0) é simétrico em spin, portanto exige uma função espacial antissimétrica.
C) O estado singleto é antissimétrico em spin e, em conjunto com uma parte espacial simétrica, satisfaz o Princípio de Exclusão de Pauli.
D) Os três estados tripletes são antissimétricos e, portanto, proíbem que elétrons compartilhem o mesmo estado espacial.
E) A simetria da parte espacial não interfere na possibilidade de dois elétrons ocuparem o mesmo estado.

Passo 1

O enunciado pede para assinalar a alternativa correta sobre a simetria das funções de spin para um sistema de dois elétrons no mesmo estado espacial. Informação dada e objetivo:
  • Dado: são dois elétrons (férmions) e eles estão no mesmo estado espacial.
  • Objetivo: escolher a alternativa correta entre A, B, C, D e E sobre a simetria do estado de spin (singleto/tripleto) e sua relação com o Princípio de Exclusão de Pauli.

Passo 2

Princípio físico fundamental (explicado devagar e sem jargão): elétrons são férmions, e a função de onda total de dois férmions deve ser antissimétrica sob troca das partículas. Isso significa que, se trocarmos as etiquetas dos dois elétrons 1\leftrightarrow2, a função total muda de sinal. Escrevendo a função total como produto da parte espacial e da parte de spin,
\Psi_{\text{total}}(1,2)=\Psi_{\text{espacial}}(1,2)\,\chi_{\text{spin}}(1,2),
a condição de antissimetria exige
\Psi_{\text{total}}(2,1)=-\Psi_{\text{total}}(1,2).
Portanto, a simetria global sob troca é negativa, o que implica que a simetria da parte espacial e da parte de spin devem ser opostas: se uma é simétrica, a outra deve ser antissimétrica, e vice-versa.

Passo 3

Vamos definir o que é “simétrico” e “antissimétrico” ao trocar partículas:
  • Uma função f(1,2) é simétrica se f(2,1)=+f(1,2).
  • É antissimétrica se f(2,1)=-f(1,2).
Aplicando isso ao produto espacial×spin: se \chi_{\text{spin}} for simétrica então \Psi_{\text{espacial}} tem que ser antissimétrica, e se \chi_{\text{spin}} for antissimétrica então \Psi_{\text{espacial}} pode ser simétrica. Isso vem diretamente da condição de antissimetria do total.

Passo 4

Agora explicitamente os estados de spin de dois elétrons (usar notação de kets para ficar claro). Definindo \lvert\uparrow\rangle e \lvert\downarrow\rangle como os estados de spin de cada elétron, os três estados do tripleto ( S=1) são:
\begin{aligned} \lvert 1,1\rangle &= \lvert\uparrow\uparrow\rangle,\\[4pt] \lvert 1,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\lvert\uparrow\downarrow\rangle+\lvert\downarrow\uparrow\rangle\bigr),\\[4pt] \lvert 1,-1\rangle &= \lvert\downarrow\downarrow\rangle. \end{aligned}
Verificação de simetria: cada um desses estados satisfaz \chi_{\text{spin}}(2,1)=+\chi_{\text{spin}}(1,2), isto é, são funções simétricas sob troca das partículas. Assim, os três estados do tripleto são simétricos em spin.]

Passo 5

O estado singleto ( S=0) é o único estado restante de dois spins-1/2:
\lvert 0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\lvert\uparrow\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\uparrow\rangle\bigr).
Verificação de simetria: esse estado troca de sinal quando permuta-se as partículas, ou seja \chi_{\text{spin}}(2,1)=-\chi_{\text{spin}}(1,2). Portanto o singleto é antissimétrico em spin.

Passo 6

Consequence prática para dois elétrons no mesmo orbital espacial: se ambos ocupam o mesmo orbital \varphi(x) (mesmo estado espacial), a função espacial de dois corpos apropriada seria proporcional a
\Psi_{\text{espacial}}(1,2)=\varphi(1)\varphi(2),
que é simétrica porque trocar 1\leftrightarrow2 deixa \varphi(1)\varphi(2) inalterada. Logo, para que o total seja antissimétrico (como exige Pauli), a parte de spin precisa ser antissimétrica. Em símbolos: simetria espacial \Rightarrow spin deve ser antissimétrico. Como vimos no Passo 5, isso significa que o único estado de spin compatível é o singleto. Se a parte de spin fosse simétrica (tripleto), a parte espacial teria que ser antissimétrica; mas uma função espacial antissimétrica não pode ser construída com \varphi(1)\varphi(2) quando os dois ocupam exatamente o mesmo orbital — nesse caso a combinação antissimétrica seria zero:
\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\varphi(1)\varphi(2)-\varphi(2)\varphi(1)\bigr)=0.
Isso mostra por que dois elétrons com spin paralelo (tripletos) não podem ocupar o mesmo orbital espacial.

Passo 7

Aplicando tudo às alternativas:
  • A) Incorreta: o tripleto é simétrico em spin, não antissimétrico; portanto a conclusão da alternativa é falsa.
  • B) Incorreta: diz que o singleto é simétrico em spin — falso, o singleto é antissimétrico.
  • C) Correta: afirma que o singleto é antissimétrico em spin e que, junto com uma parte espacial simétrica, satisfaz Pauli — isso é exatamente o que deduzimos.
  • D) Incorreta: os três estados do tripleto são simétricos (não antissimétricos) e proíbem ocupar o mesmo estado espacial — a parte “proíbem” está correta, mas a afirmação sobre serem antissimétricos está errada.
  • E) Incorreta: a simetria da parte espacial interfere sim — é precisamente a combinação de simetria espacial e de spin que determina se dois elétrons podem ocupar o mesmo orbital.

Passo 8

Recapitulando em linguagem de prova (curto e útil): para dois elétrons no mesmo orbital espacial a parte espacial é simétrica, portanto pela antissimetria total exigida para férmions a parte de spin deve ser antissimétrica — isto é, o estado singleto. Assim a alternativa correta é a que diz isso.

Resposta

C

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