Uma força
\vec{F}=(2,00 \hat{i}+9,00 \hat{j}+5,30 \hat{k}) N age sobre um objeto de massa 2,90 \mathrm{~kg}, o qual se desloca, em um intervalo de tempo de 2,10 s, da posição inicial
\vec{r}_{1}=(2,70 \hat{i}-2,90 \hat{j}+5,50 \hat{k}) m
para a posição final
\vec{r}_{2}=(-4,10 \hat{i}+3,30 \hat{j}+5,40 \hat{k}) \mathrm{m}
Determine a potência média desenvolvida pela força durante esse intervalo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência média desenvolvida pela força durante o intervalo de tempo dado.
Informações fornecidas:
  • Força aplicada: \vec{F}=(2,00\\ \hat{i}+9,00\\ \hat{j}+5,30\\ \hat{k})\\ \mathrm{N}.
  • Massa do objeto: m=2,90\\ \mathrm{kg}.
  • Posição inicial: \vec{r}_{1}=(2,70\\ \hat{i}-2,90\\ \hat{j}+5,50\\ \hat{k})\\ \mathrm{m}.
  • Posição final: \vec{r}_{2}=(-4,10\\ \hat{i}+3,30\\ \hat{j}+5,40\\ \hat{k})\\ \mathrm{m}.
  • Intervalo de tempo: \Delta t=2,10\\ \mathrm{s}.
O que se pede explicitamente: calcular a potência média P_{\text{média}}é desenvolvida pela força durante o intervalo \Delta t.

Passo 2

Definição e cálculo do deslocamento. O deslocamento é a variação de posição
\Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}.
Agora calculamos componente a componente, usando os valores dados:
\Delta\vec{r}=(-4,10-2,70)\,\hat{i}+(3,30-(-2,90))\,\hat{j}+(5,40-5,50)\,\hat{k}.
Efetuando as subtrações obtemos
\Delta\vec{r}=(-6,80)\,\hat{i}+(6,20)\,\hat{j}+(-0,10)\,\hat{k}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Fórmula do trabalho para força constante e interpretação do produto escalar.
Para uma força constante, o trabalho realizado ao deslocar o objeto por \Delta\vec{r} é o produto escalar
W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
Explicando o produto escalar de forma prática: se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Aqui W tem unidade de joule ( \mathrm{N\cdot m}=\mathrm{J}). Cada termo A_xB_x representa a contribuição do componente x da força ao deslocamento na direção x (mesma ideia para y e z).

Passo 4

Cálculo do trabalho componente a componente. Substituindo \vec{F} e \Delta\vec{r}:
W=(2,00)(-6,80)+(9,00)(6,20)+(5,30)(-0,10)\\ \mathrm{J}.
Calculando cada produto:
(2,00)(-6,80)=-13,60, \qquad (9,00)(6,20)=55,80, \qquad (5,30)(-0,10)=-0,53.
Somando os termos:
W=-13,60+55,80-0,53=41,67\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Fórmula e cálculo da potência média. A potência média é a energia (trabalho) transferida por unidade de tempo:
P_{\text{média}}=\frac{W}{\Delta t}.é
Substituindo W e \Delta t:
P_{\text{média}}=\frac{41,67}{2,10}\\ \mathrm{W}=19,84\\ \mathrm{W}.é
Arredondando de acordo com algarismos significativos dos dados (três algarismos significativos), podemos escrever
P_{\text{média}}=19,8\\ \mathrm{W}.é

Passo 6

Observações finais e checagem rápida:
  • A massa m não foi necessária para calcular a potência média neste problema porque o trabalho depende apenas da força e do deslocamento quando a força é constante.
  • O resultado positivo indica que a força realizou trabalho positivo sobre o objeto durante o deslocamento, portanto forneceu energia ao objeto.
  • Unidade final está correta: joule por segundo = watt ( \mathrm{W}).

Resposta

19,8\\ \mathrm{W}

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