(a) Determine a solução do sistema;
(b) Acrescente a equação 2 z+k w=9 no sistema acima, e então discuta a solução do novo sistema em função do parâmetro real k;
(c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogêneo, isto é, todos os termos independentes, das variáveis, são iguais a zero. Adicione a equação 2 z-y-2 w=0 neste sistema homogêneo, e então obtenha a sua solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,w\):
\[S:\begin{cases} 3x-5y+12z-w=-3,\\\ x+y+4z-w=-6,\\\\ 2y+2z+w=5. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é eliminação de Gauss para determinar a solução geral (parte a), depois impor uma nova equação 2z+k w=9\] e discutir em função de \(k (parte b), e por fim refazer o sistema no caso homogêneo e acrescentar 2z-y-2w=0 (parte c).
Passo 2
Para facilitar, trocamos a primeira equação pela segunda, dando