Considere o sistema de equações lineares
S=\left\{\begin{array}{c} 3 x-5 y+12 z-w=-3 \\\ x+y+4 z-w=-6 \\\\ 2 y+2 z+w=5 \end{array}\right.
(a) Determine a solução do sistema;
(b) Acrescente a equação 2 z+k w=9 no sistema acima, e então discuta a solução do novo sistema em função do parâmetro real k;
(c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogêneo, isto é, todos os termos independentes, das variáveis, são iguais a zero. Adicione a equação 2 z-y-2 w=0 neste sistema homogêneo, e então obtenha a sua solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,w\): \[S:\begin{cases} 3x-5y+12z-w=-3,\\\ x+y+4z-w=-6,\\\\ 2y+2z+w=5. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é eliminação de Gauss para determinar a solução geral (parte a), depois impor uma nova equação 2z+k w=9\] e discutir em função de \(k (parte b), e por fim refazer o sistema no caso homogêneo e acrescentar 2z-y-2w=0 (parte c).

Passo 2

Para facilitar, trocamos a primeira equação pela segunda, dando
\begin{cases} x+y+4z-w=-6,\\\\ 3x-5y+12z-w=-3,\\\\ 2y+2z+w=5. \end{cases}
Usamos a primeira para eliminar x da segunda: subtraindo 3 vezes a primeira da segunda, obtemos
-8y+2w=15.
A terceira permanece
2y+2z+w=5.

Passo 3

Da equação -8y+2w=15 tiramos
y=\frac{2w-15}{8}=\frac{w}{4}-\frac{15}{8}.
Substituindo em 2y+2z+w=5
2\Bigl(\frac{w}{4}-\frac{15}{8}\Bigr)+2z+w=5 \;\Longrightarrow\; 2z=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}w \;\Longrightarrow\; z=\frac{35}{8}-\frac{3}{4}w.

Passo 4

Finalmente, voltamos à primeira equação x+y+4z-w=-6 para achar x. Substituindo y e z em termos de w resulta
x=-6-y-4z+w =-6-\Bigl(\frac{w}{4}-\frac{15}{8}\Bigr) -4\Bigl(\frac{35}{8}-\frac{3}{4}w\Bigr)+w =-\frac{173}{8}+\frac{15}{4}w.

Passo 5

Logo, a solução geral de S é um feixe de retas dado por
\bigl(x,y,z,w\bigr) =\Bigl(-\tfrac{173}{8}+\tfrac{15}{4}t,\; -\tfrac{15}{8}+\tfrac{1}{4}t,\; \tfrac{35}{8}-\tfrac{3}{4}t,\; t\Bigr),
com parâmetro real t. Isso responde a parte (a).

Passo 6

Para a parte (b), adicionamos
2z+k w=9.
Substituindo z=\tfrac{35}{8}-\tfrac{3}{4}t e w=t obtemos
2\Bigl(\tfrac{35}{8}-\tfrac{3}{4}t\Bigr)+k\,t=9 \;\Longrightarrow\; \frac{35}{4}-\frac{3}{2}t+k\,t=9 \;\Longrightarrow\; (k-\tfrac{3}{2})\,t=\tfrac{1}{4}.
Se k\neq\tfrac{3}{2}, existe solução única com
t=\frac{1}{4(k-\tfrac{3}{2})}
e daí determinam-se x,y,z. Se k=\tfrac{3}{2}, o lado esquerdo é 0\cdot t e não pode dar \tfrac14, logo não há solução.

Passo 7

Na parte (c) tomamos o sistema original homogêneo
\begin{cases} 3x-5y+12z-w=0,\\\ x+y+4z-w=0,\\\\ 2y+2z+w=0 \end{cases}
e repetimos os mesmos passos: chega-se à solução geral
(x,y,z,w)=y\,(15,1,-3,4).
Ao adicionar 2z-y-2w=0, substituímos z=-3y e w=4y na nova equação:
2(-3y)-y-2(4y)=-15y=0 \;\Longrightarrow\;y=0.
Logo a única solução é a trivial (0,0,0,0).

Resposta

(a) \displaystyle(x,y,z,w)=\bigl(-\tfrac{173}{8}+\tfrac{15}{4}t,\,-\tfrac{15}{8}+\tfrac{1}{4}t,\;\tfrac{35}{8}-\tfrac{3}{4}t,\;t\bigr), t\in\mathbb{R}.
(b) Com 2z+k w=9, se k\neq\tfrac{3}{2} há solução única dada por t=\frac{1}{4(k-\tfrac{3}{2})}; se k=\tfrac{3}{2} não há solução.
(c) No caso homogêneo com 2z-y-2w=0, a única solução é (0,0,0,0).

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