A tabela abaixo dá a quantidade de proteína, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rações R_{1}, R_{2} e R_{3}.
Ração
Proteína
Carboidrato
Gordura
R_{1}
0,1
0,2
0,3
R_{2}
0,1
0,3
0,4
R_{3}
0,1
0,1
0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rações deve ser dada a um animal que precisa receber 0,7 \mathrm{Kg} de proteína, 1,1 \mathrm{Kg} de carboidrato e 1,8 \mathrm{Kg} de gordura?
(b) Qual o custo mínimo para alimentar um animal, sabendo-se que os preços das rações R_{1}, R_{2} e R_{3} são R \ 1,50, R $3,00eR $ 2,00$, respectivamente?
Passo 1
O enunciado é um problema de mistura de três rações R_{1},R_{2},R_{3} que devem fornecer, em conjunto, \,0,7 kg de proteína, \,1,1 kg de carboidrato e \,1,8 kg de gordura. Vamos modelar como um sistema linear em três variáveis (as quantidades em kg de cada ração) e depois, na parte (b), resolver um problema de programação linear para minimizar o custo.
Passo 2
Definimos
x_{1},x_{2},x_{3}
como as quantidades (em kg) de R_{1},R_{2},R_{3}, respectivamente.
Cada kg de ração traz: \,0,1 kg de proteína em todas as três rações, \,0,2, \,0,3, \,0,1 kg de carboidrato em R_{1},R_{2},R_{3}, \,0,3, \,0,4, \,0,2 kg de gordura em R_{1},R_{2},R_{3}.
As equações são:
Na terceira equação obtemos a mesma relação x_{1}+2x_{2}=4. Logo só há duas equações independentes em três incógnitas, gerando uma família de soluções.
Passo 5
Introduzimos um parâmetro t para expressar a solução geral. Tomemos
x_{2}=t.
Da equação x_{1}+2x_{2}=4 segue
x_{1}=4-2t,
e da primeira equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=7 obtém-se
x_{3}=7-(4-2t)-t=3+t.
Passo 6
Como x_{1},x_{2},x_{3} devem ser não negativas, temos