A tabela abaixo dá a quantidade de proteína, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rações R_{1}, R_{2} e R_{3}.
Ração Proteína Carboidrato Gordura
R_{1} 0,1 0,2 0,3
R_{2} 0,1 0,3 0,4
R_{3} 0,1 0,1 0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rações deve ser dada a um animal que precisa receber 0,7 \mathrm{Kg} de proteína, 1,1 \mathrm{Kg} de carboidrato e 1,8 \mathrm{Kg} de gordura?
(b) Qual o custo mínimo para alimentar um animal, sabendo-se que os preços das rações R_{1}, R_{2} e R_{3} são R \ 1,50, R $3,00 eR $ 2,00$, respectivamente?

Passo 1

O enunciado é um problema de mistura de três rações R_{1},R_{2},R_{3} que devem fornecer, em conjunto, \,0,7 kg de proteína, \,1,1 kg de carboidrato e \,1,8 kg de gordura. Vamos modelar como um sistema linear em três variáveis (as quantidades em kg de cada ração) e depois, na parte (b), resolver um problema de programação linear para minimizar o custo.

Passo 2

Definimos
x_{1},x_{2},x_{3}
como as quantidades (em kg) de R_{1},R_{2},R_{3}, respectivamente.
Cada kg de ração traz: \,0,1 kg de proteína em todas as três rações, \,0,2, \,0,3, \,0,1 kg de carboidrato em R_{1},R_{2},R_{3}, \,0,3, \,0,4, \,0,2 kg de gordura em R_{1},R_{2},R_{3}.
As equações são:
\begin{cases} 0,1x_{1}+0,1x_{2}+0,1x_{3}=0,7,\\\\ 0,2x_{1}+0,3x_{2}+0,1x_{3}=1,1,\\\\ 0,3x_{1}+0,4x_{2}+0,2x_{3}=1,8. \end{cases}

Passo 3

Multiplicamos todas as equações por 10 para simplificar os coeficientes:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=7,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=11,\\\\ 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=18. \end{cases}

Passo 4

Usamos a primeira equação para eliminar x_{3}:
x_{3}=7 - x_{1}-x_{2}.
Substituindo na segunda equação:
2x_{1}+3x_{2}+(7 - x_{1}-x_{2})=11 \;\Longrightarrow\; x_{1}+2x_{2}=4.
Na terceira equação obtemos a mesma relação x_{1}+2x_{2}=4. Logo só há duas equações independentes em três incógnitas, gerando uma família de soluções.

Passo 5

Introduzimos um parâmetro t para expressar a solução geral. Tomemos
x_{2}=t.
Da equação x_{1}+2x_{2}=4 segue
x_{1}=4-2t,
e da primeira equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=7 obtém-se
x_{3}=7-(4-2t)-t=3+t.

Passo 6

Como x_{1},x_{2},x_{3} devem ser não negativas, temos
4-2t\ge0,\quad t\ge0,\quad 3+t\ge0 \;\Longrightarrow\; 0\le t\le2.

Passo 7

Portanto, para (a) a família de soluções viáveis é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =\bigl(4-2t,\;t,\;3+t\bigr), \quad 0\le t\le2.

Passo 8

Para (b) o custo total é
C(t) =1,50\,x_{1}+3,00\,x_{2}+2,00\,x_{3}.
Substituindo a solução geral:
C(t) =1{,}50(4-2t)+3{,}00\,t+2{,}00(3+t).

Passo 9

Expandindo:
C(t) =6-3t+3t+6+2t =12+2t.
Como t\in[0,2], o custo é mínimo quando t é mínimo, isto é, t=0. Então
C_{\min}=12\quad(\text{reais}).

Resposta

(a) As quantidades formam a família
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =\bigl(4-2t,\;t,\;3+t\bigr), \quad 0\le t\le2.
(b) O custo mínimo é R$ 12,00 obtido em t=0, ou seja, x_{1}=4 kg, x_{2}=0 kg, x_{3}=3 kg.

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