Considere um sistema formado por duas partículas distinguíveis, 1 e 2 . Cada uma delas deve estar em um de dois compartimentos, A e B. A energia de uma partícula é zero quando ela se encontra no compartimento A , e \varepsilon quando no compartimento B . Quando as duas partículas estão no mesmo compartimento, há um custo energético adicional \Delta. O sistema está em equilíbrio com um banho térmico à temperatura T.
a) Quais são as possíveis configurações do sistema? Determine a energia de cada uma delas.
b) Calcule a função de partição Z.
c) Qual é a probabilidade de cada configuração?
d) Calcule a energia média do sistema.
e) Obtenha a entropia do sistema em termos de Z.
a) (\mathrm{A}, \mathrm{A}): E=\Delta ;(\mathrm{A}, \mathrm{B}): E=\varepsilon ;(\mathrm{B}, \mathrm{A}): E=\varepsilon ;(\mathrm{B}, \mathrm{B}): E=2 \varepsilon+\Delta
b) Z=e^{-\beta \Delta}+2 e^{-\beta \varepsilon}+e^{-\beta(2 \varepsilon+\Delta)}
c) P(A, A)=\frac{e^{-\beta \Delta}}{Z}, P(A, B)=P(B, A)=\frac{e^{-\beta \varepsilon}}{Z}, P(B, B)=\frac{e^{-\beta(2 \varepsilon+\Delta)}}{Z}
d) \langle E\rangle=\frac{\Delta e^{-\beta \Delta}+2 \varepsilon e^{-\beta \varepsilon}+(2 \varepsilon+\Delta) e^{-\beta(2 \varepsilon+\Delta)}}{Z}
e) S=k_{B}[\ln Z+\beta\langle E\rangle]

Passo 1

O enunciado descreve um sistema canônico de duas partículas distinguíveis, cada uma podendo ocupar o compartimento A (energia zero) ou B (energia \varepsilon), com um custo extra \Delta sempre que as duas partículas estiverem juntas no mesmo compartimento. Para resolver, vamos:
  1. Listar as configurações e calcular suas energias.
  2. Definir \beta = 1/(k_{B}T) e montar a função de partição Z.
  3. Usar a distribuição de Boltzmann para obter as probabilidades.
  4. Calcular a energia média \langle E\rangle.
  5. Expressar a entropia S em termos de Z e \langle E\rangle.

Passo 2

As quatro configurações possíveis e suas energias são:
\begin{aligned} (A,A):&\quad E = 0 + 0 + \Delta = \Delta,\\\ (A,B):&\quad E = 0 + \varepsilon + 0 = \varepsilon,\\\ (B,A):&\quad E = \varepsilon + 0 + 0 = \varepsilon,\\\ (B,B):&\quad E = \varepsilon + \varepsilon + \Delta = 2\varepsilon + \Delta. \end{aligned}

Passo 3

A função de partição do sistema é
Z \;=\;\sum_{\text{configs}} e^{-\beta E} \;=\;e^{-\beta \Delta} \;+\;2\,e^{-\beta \varepsilon} \;+\;e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}.

Passo 4

A probabilidade de cada configuração c é
P\text{(c)}\;=\;\frac{e^{-\beta E\text{(c)}}}{Z}.
Em particular,
P(A,A)=\frac{e^{-\beta \Delta}}{Z},\quad P(A,B)=P(B,A)=\frac{e^{-\beta \varepsilon}}{Z},\quad P(B,B)=\frac{e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}}{Z}.

Passo 5

A energia média é
\langle E\rangle =\sum_{c}E\text{(c)}\,P\text{(c)} =\frac{\Delta\,e^{-\beta \Delta} +2\varepsilon\,e^{-\beta \varepsilon} +(2\varepsilon+\Delta)\,e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}} {Z}.

Passo 6

A entropia do sistema no ensemble canônico satisfaz
S =k_{B}\bigl(\ln Z + \beta\,\langle E\rangle\bigr).

Resposta

a) As configurações e energias são (A,A):E=\Delta, (A,B):E=\varepsilon, (B,A):E=\varepsilon, (B,B):E=2\varepsilon+\Delta.
b) Z = e^{-\beta \Delta} + 2\,e^{-\beta \varepsilon} + e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}.
c) P(A,A)=\frac{e^{-\beta\Delta}}{Z},\quad P(A,B)=P(B,A)=\frac{e^{-\beta\varepsilon}}{Z},\quad P(B,B)=\frac{e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}}{Z}.
d) \langle E\rangle =\frac{\Delta\,e^{-\beta\Delta} +2\varepsilon\,e^{-\beta\varepsilon} +(2\varepsilon+\Delta)\,e^{-\beta(2\varepsilon+\Delta)}} {Z}.
e) S = k_{B}\bigl(\ln Z + \beta\langle E\rangle\bigr).

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