A lei de Stefan-Boltzmann diz que a densidade de energia total do campo eletromagnético dentro de uma cavidade em equilíbrio térmico é dada por u(T)=a T^{4}, onde a é uma constante.
a) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann usando argumentos termodinâmicos, sabendo que a pressão de radiação tem a forma P=\frac{u(T)}{3}.
b) Obtenha esse resultado usando física estatística, assumindo que a radiação eletromagnética é um gás de fótons.
a) U=u(T) V, S=s(T) V, P=\frac{u}{3}. Da relação de Maxwell: \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} Isso leva a \frac{d u}{d T}=\frac{4 u}{T}, portanto u \propto T^{4}
b) Para fótons: \langle n\rangle_{\omega}=\frac{1}{e^{\beta \hbar \omega}-1}, U=\int_{0}^{\infty} \rho(\omega) \frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1} d \omega \operatorname{Com} \rho(\omega)=\frac{V \omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}}, obtém-se u=\frac{\pi^{2} k_{B}^{4}}{15 \hbar^{3} c^{3}} T^{4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a densidade de energia da radiação em equilíbrio térmico satisfaz
u(T)=a\,T^{4}
usando dois caminhos:
  1. argumentos termodinâmicos sabendo que
P=\frac{u(T)}{3},
  1. física estatística tratando a radiação como um gás de fótons.

Passo 2

Vamos à derivação termodinâmica. Seja o volume da cavidade V. Então
U=u(T)\,V,\quad S=s(T)\,V,\quad P=\frac{u(T)}{3}.
Da primeira lei em forma diferencial temos
dU = T\,dS - P\,dV.
Tomando derivada parcial em V a T constante,
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - P.
Mas \partial U/\partial V = u(T), logo
u(T) = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - \frac{u(T)}{3} \quad\Longrightarrow\quad T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = \frac{4\,u(T)}{3}.
Por outro lado, a relação de Maxwell
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}
\frac{1}{3}\,\frac{du}{dT} = \frac{4\,u}{3\,T} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dT} = \frac{4\,u}{T}.

Passo 3

A equação diferencial
\frac{du}{dT} = \frac{4\,u}{T}
integra-se facilmente:
\ln u = 4\,\ln T + \ln C \quad\Longrightarrow\quad u(T)=C\,T^{4},
onde C é uma constante independente de T. Isso prova a lei de Stefan–Boltzmann termodinamicamente.

Passo 4

Agora a derivação estatística para fótons. A energia média do modo com frequência \omega é
\langle\varepsilon\rangle = \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1},
com \beta=1/(k_B T). No continuum, a densidade de modos por volume é
\rho(\omega)\,d\omega = \frac{V\,\omega^{2}}{\pi^{2}c^{3}}\,d\omega.
Logo a energia total é
U = \int_{0}^{\infty} \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\,\rho(\omega)\,d\omega = V\int_{0}^{\infty} \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1} \;\frac{\omega^{2}}{\pi^{2}c^{3}}\,d\omega.

Passo 5

Passamos à densidade u=U/V e mudamos de variável x=\beta\hbar\omega:
u = \frac{1}{\pi^{2}c^{3}\hbar^{3}} \,(k_B T)^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.
Sabe-se que
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx = \frac{\pi^{4}}{15}.

Passo 6

Portanto
u(T) = \frac{(k_B T)^{4}}{\pi^{2}c^{3}\hbar^{3}} \;\frac{\pi^{4}}{15} = \frac{\pi^{2}k_B^{4}}{15\,\hbar^{3}c^{3}}\;T^{4},
isto é, recuperamos
u(T)=a\,T^{4},
com
a=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{15\,\hbar^{3}c^{3}}.

Resposta

Via termodinâmica encontrou-se u(T)=C\,T^{4}. Via estatística obteve-se
u(T)=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{15\,\hbar^{3}c^{3}}\;T^{4},
ou seja a=\pi^{2}k_B^{4}/(15\,\hbar^{3}c^{3}).

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