A lei de Stefan-Boltzmann diz que a densidade de energia total do campo eletromagnético dentro de uma cavidade em equilíbrio térmico é dada por
, onde
é uma constante.
a) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann usando argumentos termodinâmicos, sabendo que a pressão de radiação tem a forma
.
b) Obtenha esse resultado usando física estatística, assumindo que a radiação eletromagnética é um gás de fótons.
a)
. Da relação de Maxwell:
Isso leva a
, portanto
b) Para fótons:
, obtém-se
a) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann usando argumentos termodinâmicos, sabendo que a pressão de radiação tem a forma
b) Obtenha esse resultado usando física estatística, assumindo que a radiação eletromagnética é um gás de fótons.
a)
b) Para fótons:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a densidade de energia da radiação em equilíbrio térmico satisfaz
usando dois caminhos:
- argumentos termodinâmicos sabendo que
- física estatística tratando a radiação como um gás de fótons.
Passo 2
Vamos à derivação termodinâmica. Seja o volume da cavidade
. Então
Da primeira lei em forma diferencial temos
Tomando derivada parcial em
a
constante,
Mas
, logo
Por outro lado, a relação de Maxwell
dá
Passo 3
A equação diferencial
integra-se facilmente:
onde
é uma constante independente de
. Isso prova a lei de Stefan–Boltzmann termodinamicamente.
Passo 4
Agora a derivação estatística para fótons. A energia média do modo com frequência
é
com
. No continuum, a densidade de modos por volume é
Logo a energia total é
Passo 5
Passamos à densidade
e mudamos de variável
:
Sabe-se que
Passo 6
Portanto
isto é, recuperamos
com
Resposta
Via termodinâmica encontrou-se
. Via estatística obteve-se
ou seja
.