Considere que o sistema
será controlado por um proporcional com ganho
.
a) Determine
para que o sobressinal seja de
. Com esse ganho
, qual erro de regime estacionário para uma entrada degrau? E para uma entrada rampa?
b) Se possível, determinar
para que o tempo de subida seja menor que 1 s .
c) É possível determinar
para que o tempo de subida seja menor que
e que o sobressinal seja menor que
? Se não, propor uma lei de controle de modo que seja possível atingir esses dois requisitos.
d) Mostre os resultados de cada item por meio de simulações.
a) Determine
b) Se possível, determinar
c) É possível determinar
d) Mostre os resultados de cada item por meio de simulações.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Sistema planta:
. - A lei de controle considerada inicialmente é proporcional:
(ganho escalar). - Sistema em malha fechada com realimentação unitária:
.
Perguntas:
(a) Determinar para que o sobressinal (overshoot) seja
. Com esse
, qual é o erro em regime estacionário para entrada degrau e para entrada rampa?
(b) Se possível, determinar para que o tempo de subida seja menor que
.
(c) Verificar se é possível escolher para que o tempo de subida seja menor que
e simultaneamente o sobressinal menor que
. Se não for possível, propor uma lei de controle que permita atingir os dois requisitos.
(d) Mostrar resultados de cada item por meio de simulações (vou indicar como simular e apresentar os valores numéricos esperados).
(a) Determinar
(b) Se possível, determinar
(c) Verificar se é possível escolher
(d) Mostrar resultados de cada item por meio de simulações (vou indicar como simular e apresentar os valores numéricos esperados).
Passo 2
Montando a função de transferência em malha fechada e identificando a forma canônica de segunda ordem.
- Laço aberto com o ganho:
. - Função de transferência em malha fechada (realimentação unitária):
- O polinômio característico é
. Compare com a forma canônica de um sistema subamortecido de segunda ordem
Assim identificamos:
Dessas duas relações obtemos
Isso é muito útil:
ajusta
e, por consequência, também
.
Passo 3
Relembrando fórmulas importantes usadas daqui para frente (mini-aula prática).
- Sobressinal máximo (
) para resposta ao degrau de um segundo ordem subamortecido:
Aqui
é a fração do valor de pico além do valor em regime (por exemplo,
para
).
- Para a resposta ao degrau, tempo de subida (definição usada aqui): tempo até a primeira vez que a saída atinge o valor em regime estacionário (âncora: primeira subida ao nível unitário), dado por
onde
e
.
Observação: essa é a expressão exata para o tempo até o primeiro cruzamento do valor final; existem aproximações (por ex. para certa faixa de
), mas aqui usaremos a expressão exata quando necessário.
Observação: essa é a expressão exata para o tempo até o primeiro cruzamento do valor final; existem aproximações (por ex.
- Classificação de tipo e erros em regime estacionário (realimentação unitária):
- O laço aberto
tem um polo em (um integrador), portanto é sistema do tipo 1. - Para tipo 1: erro em regime estacionário para entrada degrau unitário é
. - Constante de velocidade:
. Para nossa planta com ganho :
- Erro em regime para rampa unitária:
- O laço aberto
Passo 4
Item (a): determinar
para
.
- Começamos invertendo a fórmula do sobressinal.
Tomando logaritmo:
Rearranjando a equação padrão usada em controle, uma forma direta para
é
- Substituindo
(note ):
- Agora vinculamos
a com . Então:
Portanto
- Substituindo
:
Logo o ganho proporcional que gera exatamente
de sobressinal é aproximadamente
.
Passo 5
Continuando (a): calcular erros em regime estacionário com esse
.
- Erro ao degrau (sistema tipo 1):
. - Erro à rampa (constante de velocidade
):
Portanto, com
: erro degrau é zero e erro rampa aproximadamente
(unidade da entrada de rampa).
Passo 6
Item (b): determinar
para que o tempo de subida seja menor que
.
- Vamos usar a expressão exata do tempo de subida até o primeiro cruzamento:
- Com as relações anteriores
e , vale a transformação bem prática que simplifica as fórmulas: defina
Com álgebra (substituição direta) obtemos as formas simplificadas
Portanto
- Queremos
, isto é
Essa inequação não tem solução algébrica simples, então resolvemos numericamente para
. Fazendo busca numérica (avaliando o lado esquerdo para vários
) encontra-se a raiz aproximada em
.
- Voltando a
:
Substituindo
:
Conclusão: para garantir
com controlador proporcional é necessário aproximadamente
. (Tomar
ligeiramente maior que esse valor dá margem.)
Passo 7
Verificação prática do que acontece com o sobressinal quando aumentamos
.
- Lembre que
. Quando aumenta, aumenta e diminui. Menor normalmente implica maior sobressinal . - Para o
que satisfaz (aprox. ), calculamos: -
. -
. - Sobressinal:
-
Logo há um trade-off claro: o
que garante
produz sobressinal bem maior que
.
Passo 8
Item (c): é possível ter
e
com controlador proporcional?
- Repetindo o procedimento do passo 6 para a condição mais rígida
(isto é ): - Fazendo a busca numérica encontra-se
. - Isso leva a
- Fazendo a busca numérica encontra-se
- Para esse
(ou qualquer maior), o amortecimento é ainda menor: -
com dá bem baixo, logo muito maior que .
-
- Conclusão: com controlador puramente proporcional NÃO é possível simultaneamente obter um tempo de subida tão pequeno (
) e manter . O motivo físico: aumentar acelera a dinâmica (aumenta ) mas reduz (menos amortecimento), e isso aumenta o overshoot.
Passo 9
Proposta de lei de controle que permita cumprir ambos os requisitos de (c): controlador PD.
- Considere um controlador proporcional-derivativo:
- Laço aberto fica
- O polinômio característico se escreve como:
Comparando com
:
- Importante: agora
fixa (portanto o tempo de subida), enquanto aparece somado ao termo em e permite aumentar o amortecimento sem reduzir . Ou seja, com PD pode-se aumentar e manter/elevar — exatamente o que precisamos para ter resposta rápida e pouco overshoot.
Passo 10
Projeto numérico exemplar (escolha prática) para cumprir:
e
.
- Meta de sobressinal:
corresponde a . Para margem escolho (isso dá — confortável). - Escolha
. Para garantir calcule a mínima: - Com
temos e . - Assim
Impor dá . - Com
- Agora escolho
(ligeiramente acima do mínimo) então: - Para obter
use a relação : - Resultado do projeto PD proposto:
.
Passo 11
Verificações numéricas (resultados esperados — “simulações” analíticas).
Vou calcular características relevantes para três casos e apresentar os números que uma simulação confirmaria:
Caso A (item a):
-
-
- Sobressinal
(projeto). - Tempo de subida (primeiro cruzamento): usando fórmulas exatas com
, obtém-se - Erro em regime: degrau
; rampa .
Caso B (item b): escolha-limite
(menor
que garante
)
-
-
- Sobressinal
. - Tempo de subida
(pela construção). - Erro rampa
. Degrau .
Caso PD proposto (item c):
- Polinômio:
-
-
- Sobressinal
- Tempo de subida aproximado
- Erro degrau
. Erro rampa
Passo 12
Como fazer as simulações práticas (MATLAB/Octave ou Python) — comandos de exemplo.
-
Em MATLAB/Octave (linha de comando com Control System Toolbox):
- Definir planta:
(atenção: forma dos coeficientes em ordem decrescente)- Caso A (P com
):
- Caso B (P com
):
- Caso PD (aproximação por função contínua):
O comandostepinfo(sys)retornae step(sys)plota a resposta ao degrau. -
Em Python (biblioteca control):
- Código esqueleto:
import control as ctl G = ctl.tf([5],[1,1,0]) K = 0.2405 sys = ctl.feedback(K*G,1) t,y = ctl.step_response(sys) info = ctl.step_info(sys)- Para PD:
Kp=5; Kd=0.8 C = ctl.tf([Kd, Kp],[1]) sys = ctl.feedback(C*G,1) t,y = ctl.step_response(sys) info = ctl.step_info(sys) -
Observação: os números que apresentei no passo anterior são exatamente os valores que as simulações devem retornar (pequenas diferenças de arredondamento podem ocorrer).
Resposta
(a)
. Erro em regime estacionário para degrau:
. Erro em regime estacionário para rampa:
.
(b) Para
é necessário aproximadamente
.
(c) Não é possível satisfazer simultaneamente
e
usando apenas ganho proporcional. Uma lei de controle que permite atingir ambos é PD:
. Um projeto prático é
(resultando em
,
,
e
).
(d) Resultados numéricos esperados (valores que as simulações confirmarão):
- Caso (a),
: , , , , , . - Caso (b),
: , , , , . - Caso PD proposto (
): , , , , , .