Seja G(s)=\frac{5}{s+1}.
a) Escolher K de modo que o erro em regime estacionário seja menor que 5 \% para entrada degrau.
b) Se possível, determinar K para que y(t) atinja 50 \% do valor de regime permanente em menos de 500 ms .

Passo 1

O enunciado nos dá a função de planta
G(s)=\frac{5}{s+1}.
As perguntas são:
  • (a) Escolher K de modo que o erro em regime estacionário seja menor que 5\% para entrada degrau.
  • (b) Se possível, determinar K para que y(t) atinja 50\% do valor de regime permanente em menos de 500\\ \text{ms}.
Vou assumir o cenário padrão de malha unitária de realimentação negativa com um ganho proporcional K no caminho direto (ou seja, o laço aberto é K\,G(s) e o laço fechado é unity feedback). Isso é necessário para resolver a questão; como o enunciado não especificou outro arranjo, essa é a interpretação mais comum.

Passo 2

Vamos obter a função de transferência em malha fechada e identificar suas características (isso vai facilitar tanto o erro em regime quanto a resposta temporal).
O laço aberto é L(s)=K\,G(s)=\dfrac{5K}{s+1}. Para realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{\dfrac{5K}{s+1}}{1+\dfrac{5K}{s+1}}=\frac{5K}{s+1+5K}.
Esta é uma função de primeira ordem do tipo
T(s)=\frac{K_{\mathrm{dc}}}{\dfrac{s}{a}+1}
com
a=1+5K \qquad\text{e}\qquad K_{\mathrm{dc}}=\frac{5K}{1+5K}.
Interpretação física simples:
  • O polo do sistema em malha fechada está em s=-a=-\left(1+5K\right).
  • A constante de tempo é \tau=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{1+5K}.
  • Para um degrau unitário, a resposta temporal é
y(t)=K_{\mathrm{dc}}\bigl(1-e^{-a t}\bigr).

Passo 3

Parte (a): erro em regime estacionário para entrada degrau.
Para sistema em malha unitária, o erro estático para entrada degrau unitário pode ser escrito em termos do ganho estático do laço aberto K_p=\lim_{s\to0}L(s). Em particular,
K_p=\lim_{s\to0}K\,G(s)=K\cdot G(0)=K\cdot\frac{5}{1}=5K,
e o erro em regime estacionário para degrau unitário é
e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}=\frac{1}{1+5K}.
Queremos e_{ss}<0{,}05. Então
\frac{1}{1+5K}<0{,}05.
Resolvendo a desigualdade:
1+5K> \frac{1}{0{,}05}=20
5K>19
K>3{,}8.
Comentário prático: tomar K=4 já garante o erro menor que 5\%, mas a condição estrita é K>3{,}8.

Passo 4

Parte (b): tempo para atingir 50\% do valor de regime permanente em menos de 500\\ \text{ms}.
Para a resposta ao degrau do sistema de primeira ordem obtemos, como vimos,
\frac{y(t)}{y(\infty)}=1-e^{-a t},
onde a=1+5K. Para alcançar 50\% do valor final precisamos
1-e^{-a t}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad e^{-a t}=0{,}5.
Tomando logaritmo,
a t=\ln 2.
Portanto o tempo para atingir 50\% (denotado t_{50}) é
t_{50}=\frac{\ln 2}{a}=\frac{\ln 2}{1+5K}.
Queremos t_{50}<0{,}5\\ \text{s} (500 ms). Assim
\frac{\ln 2}{1+5K}<0{,}5.
Rearranjando,
1+5K>\frac{\ln 2}{0{,}5}=2\ln 2.
Numericamente 2\ln 2\approx1{,}386294. Então
5K>1{,}386294-1=0{,}386294
K> \frac{0{,}386294}{5}\approx0{,}077259.
Arredondando razoavelmente: K>0{,}0773.
Observação importante: a condição de tempo até 50\% depende apenas da constante de tempo (ou seja, de 1+5K) e não do ganho estático K_{\mathrm{dc}}. Portanto o requisito de tempo é muito menos restritivo do que o requisito de erro em regime da parte (a).

Passo 5

Conclusões e compatibilização das duas condições:
  • Para (a) o requisito é K>3{,}8.
  • Para (b) o requisito é K>0{,}0773.
Se você quer satisfazer ambos simultaneamente, basta escolher K que satisfaça a condição mais restritiva, isto é K>3{,}8. Por exemplo, K=4 atende tanto (a) quanto (b). Fica o incentivo: escolha um K um pouco acima de 3{,}8 para folga num teste real.

Resposta

(a) K>3{,}8.
(b) K>0{,}0773 (se for necessário satisfazer também (a), então K>3{,}8).

Exercícios relacionados