Seja
.
a) Escolher
de modo que o erro em regime estacionário seja menor que
para entrada degrau.
b) Se possível, determinar
para que
atinja
do valor de regime permanente em menos de 500 ms .
a) Escolher
b) Se possível, determinar
Passo 1
O enunciado nos dá a função de planta
As perguntas são:
- (a) Escolher
de modo que o erro em regime estacionário seja menor que para entrada degrau. - (b) Se possível, determinar
para que atinja do valor de regime permanente em menos de .
Vou assumir o cenário padrão de malha unitária de realimentação negativa com um ganho proporcional
no caminho direto (ou seja, o laço aberto é
e o laço fechado é unity feedback). Isso é necessário para resolver a questão; como o enunciado não especificou outro arranjo, essa é a interpretação mais comum.
Passo 2
Vamos obter a função de transferência em malha fechada e identificar suas características (isso vai facilitar tanto o erro em regime quanto a resposta temporal).
O laço aberto é
. Para realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
Esta é uma função de primeira ordem do tipo
com
Interpretação física simples:
- O polo do sistema em malha fechada está em
. - A constante de tempo é
. - Para um degrau unitário, a resposta temporal é
Passo 3
Parte (a): erro em regime estacionário para entrada degrau.
Para sistema em malha unitária, o erro estático para entrada degrau unitário pode ser escrito em termos do ganho estático do laço aberto
. Em particular,
e o erro em regime estacionário para degrau unitário é
Queremos
. Então
Resolvendo a desigualdade:
Comentário prático: tomar
já garante o erro menor que
, mas a condição estrita é
.
Passo 4
Parte (b): tempo para atingir
do valor de regime permanente em menos de
.
Para a resposta ao degrau do sistema de primeira ordem obtemos, como vimos,
onde
. Para alcançar
do valor final precisamos
Tomando logaritmo,
Portanto o tempo para atingir
(denotado
) é
Queremos
(500 ms). Assim
Rearranjando,
Numericamente
. Então
Arredondando razoavelmente:
.
Observação importante: a condição de tempo até
depende apenas da constante de tempo (ou seja, de
) e não do ganho estático
. Portanto o requisito de tempo é muito menos restritivo do que o requisito de erro em regime da parte (a).
Passo 5
Conclusões e compatibilização das duas condições:
- Para (a) o requisito é
. - Para (b) o requisito é
.
Se você quer satisfazer ambos simultaneamente, basta escolher
que satisfaça a condição mais restritiva, isto é
. Por exemplo,
atende tanto (a) quanto (b). Fica o incentivo: escolha um
um pouco acima de
para folga num teste real.
Resposta
(a)
.
(b) (se for necessário satisfazer também (a), então
).
(b)