Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de K elevados e pequenos utilizando o LGR.
G(s)=K \frac{s+1}{s^{2}+25}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • O sistema em malha fechada é obtido assumindo realimentação unitária. O ganho em malha direta é G(s)=K\displaystyle\frac{s+1}{s^{2}+25}.
  • O que é pedido: estudar a estabilidade para valores de K pequenos e para valores de K elevados, utilizando o Lugar das Raízes (LGR).
  • Informações extraídas da expressão de G(s):
    • polos do laço aberto (denominador de G(s)): s=\pm 5\mathrm{j} (isto é, dois polos puramente imaginários).
    • zero do laço aberto (numerador de G(s)): s=-1 (um zero real à esquerda).
  • Observação: o LGR traça as posições dos polos do sistema em malha fechada quando K varia (normalmente K\ge 0). A equação característica é 1+G(s)=0.

Passo 2

Escrevo a equação característica e a polinomial de malha fechada — passo obrigatório antes de qualquer análise.
  • Equação característica (realimentação unitária):
1+G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad 1+K\frac{s+1}{s^{2}+25}=0.
  • Multiplicando por s^{2}+25 obtemos o polinômio característico em forma polinomial:
s^{2}+25 + K(s+1)=0.
  • Reorganizando:
\boxed{s^{2} + K s + (25+K)=0.}
Aqui cada coeficiente é explícito: o coeficiente de s^{2} é 1, de s é K e o termo constante é 25+K. Esses coeficientes serão usados para estabilidade (Routh) e para entender o LGR.

Passo 3

Regras básicas do LGR aplicadas ao sistema (onde pegar os polos/zeros do laço aberto e calcular assíntotas).
  • Polos do laço aberto: s_{p1}=5\mathrm{j}, s_{p2}=-5\mathrm{j}.
  • Zeros do laço aberto: s_{z1}=-1.
  • Número de polos \;n_p=2. Número de zeros \;n_z=1. Logo há n_p ramos do LGR (2 ramos); um ramo termina no zero finito s=-1 e o outro vai para infinito.
  • Número de assíntotas para ramos que vão ao infinito: n_p-n_z=1.
  • Centro (centroid) das assíntotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n_p-n_z} =\frac{(5\mathrm{j}+(-5\mathrm{j})) - (-1)}{1}=\frac{0+1}{1}=1.
  • Ângulo(s) das assíntotas (fórmula \theta=(2k+1)\pi/(n_p-n_z)): com n_p-n_z=1
\theta = \pi \quad(\text{ou }180^\circ).
Interpretação rápida: há uma assíntota que parte do ponto real \sigma_a=1 e vai para a esquerda ao longo do eixo real (direção 180^\circ).

Passo 4

Interpretação inicial do LGR perto de K=0 (comportamento para K pequeno).
  • Regra do LGR: quando K\to 0^{+}, os polos de malha fechada aproximam-se dos polos de laço aberto. Portanto, para K muito pequeno temos polos próximos de s=\pm 5\mathrm{j} — isto é, a malha fechada é, no limite, marginalmente estável (pólos sobre o eixo imaginário).
  • Conclusão prática: em K=0 o sistema é marginalmente estável (pólos em \pm 5\mathrm{j}). Para analisar se crescer um pouco K empurra os polos para a esquerda ou para a direita, precisamos ver a direção do movimento. Vamos usar a equação característica exata para ver o sinal das partes reais dos polos para K>0.

Passo 5

Análise analítica dos polos em função de K (aqui um complemento ao LGR, útil e simples): resolvo a quadrática e examino condições de estabilidade.
  • Polinômio: s^{2}+K s + (25+K)=0.
  • Para uma equação quadrática \;s^{2}+b s + c=0, todos os polos têm parte real negativa (sistema estável) se e somente se b>0 e c>0 (condição de Routh/Hurwitz para grau 2). Aqui b=K e c=25+K.
  • Assim as condições ficam:
    • K>0,
    • 25+K>0 \Rightarrow K>-25 (esta segunda é sempre verdadeira se K>0).
  • Portanto, para todo K>0 temos b>0 e c>0, logo o sistema é estável.
  • Observações numéricas ilustrativas (apenas para intuição, sem calculadora complexa):
    • Se K=0{,}1: os coeficientes são positivos e os polos têm pequena parte real negativa (movimentaram-se levemente para a esquerda).
    • Se K=1: polos complexos com parte real -\tfrac{1}{2} (exemplo: calcule pela fórmula quadrática se quiser).
  • Conclusão deste passo: qualquer K>0 desloca os polos para o semiplano esquerdo — compatível com um LGR cujo ramo sai dos polos imaginários e vai para a esquerda atraído pelo zero em -1 e pela assíntota à esquerda.

Passo 6

Comportamento quando K é grande (K elevado): análise assintótica dos polos.
  • Dividindo o polinômio característico por K (assumindo K\ne 0):
\frac{s^{2}}{K} + s + \left(1+\frac{25}{K}\right)=0.
  • Fazendo K\to\infty (termo \tfrac{s^{2}}{K}\to 0 e \tfrac{25}{K}\to 0), a equação limite é
s + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad s=-1.
Isto mostra que, para K muito grande, um dos polos tende ao zero finito do laço aberto s=-1.
  • O outro polo, pelo somatório das raízes (soma dos polos = -K), tende para um valor com parte real muito negativa (aproximadamente -K), ou seja vai para a esquerda indo até valores grandes em módulo.
  • Conclusão: para K elevado todos os polos permanecem no semiplano esquerdo (um em -1 e outro muito à esquerda) — portanto estável.

Passo 7

Consistência entre LGR e análise algébrica; e comportamento para K\le 0.
  • O LGR qualitativo: ramos iniciam em s=\pm 5\mathrm{j}; um ramo vai para o zero em -1 e o outro vai para o infinito seguindo a assíntota que passa por \sigma_a=1 com direção para a esquerda. Apesar do centroid estar em +1, os polos do laço fechado para K>0 ficam no semiplano esquerdo (a forma do LGR e a presença do zero em -1 “puxam” os polos para a parte esquerda).
  • A análise algébrica (condições de Routh para grau 2) mostrou claramente que qualquer K>0 garante estabilidade.
  • Casos especiais:
    • K=0: os polos ficam exatamente em \pm 5\mathrm{j} → marginalmente estável.
    • K<0: então b=K<0, o critério do passo 5 não é satisfeito e o sistema torna-se instável (há pelo menos um polo com parte real positiva). Logo ganhos negativos provocam instabilidade.

Passo 8

Resumo pedagógico (como usar isso na prova): passo a passo rápido que você pode reproduzir:
  • Escreva 1+G(s)=0 e obtenha o polinômio característico.
  • Identifique polos/zeros do laço aberto para desenhar o LGR (aqui polos em \pm 5\mathrm{j}, zero em -1).
  • Use as regras do LGR (número de ramos, assíntotas, centroid, direção) para ver o comportamento qualitativo.
  • Para conclusão rápida sobre estabilidade em sistemas de 2º grau, aplique o critério de Routh (ou simplesmente: todos os coeficientes positivos para \,s^{2}+b s + c implicam estabilidade).
  • No exercício: basta ver que para K>0 os coeficientes são positivos → estável; K=0 marginal; K<0 instável.

Resposta

Para K>0: estável (tanto para K pequenos positivos quanto para K elevados).
Para K=0: marginalmente estável (polos em \pm 5\mathrm{j}).
Para K<0: instável.

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