Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de
elevados e pequenos utilizando o LGR.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- O sistema em malha fechada é obtido assumindo realimentação unitária. O ganho em malha direta é
. - O que é pedido: estudar a estabilidade para valores de
pequenos e para valores de elevados, utilizando o Lugar das Raízes (LGR). - Informações extraídas da expressão de
: - polos do laço aberto (denominador de
): (isto é, dois polos puramente imaginários). - zero do laço aberto (numerador de
): (um zero real à esquerda).
- polos do laço aberto (denominador de
- Observação: o LGR traça as posições dos polos do sistema em malha fechada quando
varia (normalmente ). A equação característica é .
Passo 2
Escrevo a equação característica e a polinomial de malha fechada — passo obrigatório antes de qualquer análise.
- Equação característica (realimentação unitária):
- Multiplicando por
obtemos o polinômio característico em forma polinomial:
- Reorganizando:
Aqui cada coeficiente é explícito: o coeficiente de
é
, de
é
e o termo constante é
. Esses coeficientes serão usados para estabilidade (Routh) e para entender o LGR.
Passo 3
Regras básicas do LGR aplicadas ao sistema (onde pegar os polos/zeros do laço aberto e calcular assíntotas).
- Polos do laço aberto:
, . - Zeros do laço aberto:
. - Número de polos
. Número de zeros . Logo há ramos do LGR (2 ramos); um ramo termina no zero finito e o outro vai para infinito. - Número de assíntotas para ramos que vão ao infinito:
. - Centro (centroid) das assíntotas:
- Ângulo(s) das assíntotas (fórmula
): com dá
Interpretação rápida: há uma assíntota que parte do ponto real
e vai para a esquerda ao longo do eixo real (direção
).
Passo 4
Interpretação inicial do LGR perto de
(comportamento para
pequeno).
- Regra do LGR: quando
, os polos de malha fechada aproximam-se dos polos de laço aberto. Portanto, para muito pequeno temos polos próximos de — isto é, a malha fechada é, no limite, marginalmente estável (pólos sobre o eixo imaginário). - Conclusão prática: em
o sistema é marginalmente estável (pólos em ). Para analisar se crescer um pouco empurra os polos para a esquerda ou para a direita, precisamos ver a direção do movimento. Vamos usar a equação característica exata para ver o sinal das partes reais dos polos para .
Passo 5
Análise analítica dos polos em função de
(aqui um complemento ao LGR, útil e simples): resolvo a quadrática e examino condições de estabilidade.
- Polinômio:
. - Para uma equação quadrática
, todos os polos têm parte real negativa (sistema estável) se e somente se e (condição de Routh/Hurwitz para grau 2). Aqui e . - Assim as condições ficam:
-
, -
(esta segunda é sempre verdadeira se ).
-
- Portanto, para todo
temos e , logo o sistema é estável. - Observações numéricas ilustrativas (apenas para intuição, sem calculadora complexa):
- Se
: os coeficientes são positivos e os polos têm pequena parte real negativa (movimentaram-se levemente para a esquerda). - Se
: polos complexos com parte real (exemplo: calcule pela fórmula quadrática se quiser).
- Se
- Conclusão deste passo: qualquer
desloca os polos para o semiplano esquerdo — compatível com um LGR cujo ramo sai dos polos imaginários e vai para a esquerda atraído pelo zero em e pela assíntota à esquerda.
Passo 6
Comportamento quando
é grande (K elevado): análise assintótica dos polos.
- Dividindo o polinômio característico por
(assumindo ):
- Fazendo
(termo e ), a equação limite é
Isto mostra que, para
muito grande, um dos polos tende ao zero finito do laço aberto
.
- O outro polo, pelo somatório das raízes (soma dos polos =
), tende para um valor com parte real muito negativa (aproximadamente ), ou seja vai para a esquerda indo até valores grandes em módulo. - Conclusão: para
elevado todos os polos permanecem no semiplano esquerdo (um em e outro muito à esquerda) — portanto estável.
Passo 7
Consistência entre LGR e análise algébrica; e comportamento para
.
- O LGR qualitativo: ramos iniciam em
; um ramo vai para o zero em e o outro vai para o infinito seguindo a assíntota que passa por com direção para a esquerda. Apesar do centroid estar em , os polos do laço fechado para ficam no semiplano esquerdo (a forma do LGR e a presença do zero em “puxam” os polos para a parte esquerda). - A análise algébrica (condições de Routh para grau 2) mostrou claramente que qualquer
garante estabilidade. - Casos especiais:
-
: os polos ficam exatamente em → marginalmente estável. -
: então , o critério do passo 5 não é satisfeito e o sistema torna-se instável (há pelo menos um polo com parte real positiva). Logo ganhos negativos provocam instabilidade.
-
Passo 8
Resumo pedagógico (como usar isso na prova): passo a passo rápido que você pode reproduzir:
- Escreva
e obtenha o polinômio característico. - Identifique polos/zeros do laço aberto para desenhar o LGR (aqui polos em
, zero em ). - Use as regras do LGR (número de ramos, assíntotas, centroid, direção) para ver o comportamento qualitativo.
- Para conclusão rápida sobre estabilidade em sistemas de 2º grau, aplique o critério de Routh (ou simplesmente: todos os coeficientes positivos para
implicam estabilidade). - No exercício: basta ver que para
os coeficientes são positivos → estável; marginal; instável.
Resposta
Para
: estável (tanto para
pequenos positivos quanto para
elevados).
Para : marginalmente estável (polos em
).
Para : instável.
Para
Para