Use o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas e um palpite inicial, e pede para obter uma aproximação da solução usando o método de Jacobi com precisão \varepsilon=10^{-3}.
O que é pedido: usar o método de Jacobi para gerar iterações x^{(k)} até que a aproximação atinja a precisão \varepsilon (ou seja, até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que \varepsilon, conforme o critério que vamos adotar).]
Passo 2
Isolar cada incógnita na sua equação (essa é a essência do Jacobi: cada componente na iteração k+1 usa apenas valores da iteração k das outras componentes).
Da primeira equação 10x_{1}-2x_{2}=9 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{9+2x_{2}}{10}.
Da segunda -x_{1}+10x_{2}-2x_{3}=7 isolamos x_{2}:
x_{2}=\frac{7+x_{1}+2x_{3}}{10}.
Da terceira -2x_{2}+10x_{3}=6 isolamos x_{3}:
x_{3}=\frac{6+2x_{2}}{10}.
Portanto as fórmulas de iteração de Jacobi são, para k\ge0:
Verifica-se que A é estritamente diagonal dominante por linhas, porque para cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha:
|10|>2,\quad |10|>1+2=3,\quad |10|>2.
Isso garante convergência do método de Jacobi para qualquer ponto inicial, inclusive x^{(0)}=(0,0,0).]
Passo 4
Critério de parada que vamos usar: norma infinito da diferença entre iterações consecutivas.
Definição: para um vetor v=(v_{1},v_{2},v_{3}),
Agora \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=0,000756<\varepsilon=0,001, portanto atingimos a precisão desejada e podemos parar.
Passo 11
Resumo do que foi feito e motivo da parada:
As iterações de Jacobi foram aplicadas a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
A matriz é estritamente diagonal dominante, logo o método converge.
Usamos o critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-3}.
A condição foi satisfeita ao passar de k=5 para k=6, com x^{(6)}=(1,093424,\;0,967876,\;0,793424).
Portanto essa é a aproximação com a precisão exigida.