Considere x^{(0)}=(0,0,0) e o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9 \\\\ -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \\\\ -2 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
Use o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas e um palpite inicial, e pede para obter uma aproximação da solução usando o método de Jacobi com precisão \varepsilon=10^{-3}.
Informações fornecidas:
  • Vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0).
  • Sistema
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9,\\[4pt] -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7,\\[4pt] -2 x_{2}+10 x_{3}=6. \end{array}\right.
  • Precisão desejada: \varepsilon=10^{-3}.
O que é pedido: usar o método de Jacobi para gerar iterações x^{(k)} até que a aproximação atinja a precisão \varepsilon (ou seja, até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que \varepsilon, conforme o critério que vamos adotar).]

Passo 2

Isolar cada incógnita na sua equação (essa é a essência do Jacobi: cada componente na iteração k+1 usa apenas valores da iteração k das outras componentes).
Da primeira equação 10x_{1}-2x_{2}=9 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{9+2x_{2}}{10}.
Da segunda -x_{1}+10x_{2}-2x_{3}=7 isolamos x_{2}:
x_{2}=\frac{7+x_{1}+2x_{3}}{10}.
Da terceira -2x_{2}+10x_{3}=6 isolamos x_{3}:
x_{3}=\frac{6+2x_{2}}{10}.
Portanto as fórmulas de iteração de Jacobi são, para k\ge0:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{9+2x_{2}^{(k)}}{10}, \qquad x_{2}^{(k+1)}=\frac{7+x_{1}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}}{10}, \qquad x_{3}^{(k+1)}=\frac{6+2x_{2}^{(k)}}{10}.
Aqui x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}).

Passo 3

Comentário sobre convergência (importante para ter certeza de que o método vai funcionar): a matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix} 10 & -2 & 0\\[4pt] -1 & 10 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 10 \end{pmatrix}.
Verifica-se que A é estritamente diagonal dominante por linhas, porque para cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha:
|10|>2,\quad |10|>1+2=3,\quad |10|>2.
Isso garante convergência do método de Jacobi para qualquer ponto inicial, inclusive x^{(0)}=(0,0,0).]

Passo 4

Critério de parada que vamos usar: norma infinito da diferença entre iterações consecutivas.
Definição: para um vetor v=(v_{1},v_{2},v_{3}),
\|v\|_{\infty}=\max\{|v_{1}|,\;|v_{2}|,\;|v_{3}|\}.
Pararemos quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon=10^{-3}.
Esse critério é simples e prático: garante que cada componente mudou menos que \varepsilon entre duas iterações consecutivas.

Passo 5

Vamos calcular as iterações, mostrando as contas passo a passo. Começamos com x^{(0)}=(0,0,0).
Iteração k=0 \to k=1:
x_{1}^{(1)}=\frac{9+2\cdot 0}{10}=\frac{9}{10}=0,9,
x_{2}^{(1)}=\frac{7+0+2\cdot 0}{10}=\frac{7}{10}=0,7,
x_{3}^{(1)}=\frac{6+2\cdot 0}{10}=\frac{6}{10}=0,6.
Logo x^{(1)}=(0,9,\;0,7,\;0,6).
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\{0,9,0,7,0,6\}=0,9 (maior que \varepsilon).

Passo 6

Iteração k=1 \to k=2:
x_{1}^{(2)}=\frac{9+2\cdot 0,7}{10}=\frac{9+1,4}{10}=\frac{10,4}{10}=1,04,
x_{2}^{(2)}=\frac{7+0,9+2\cdot 0,6}{10}=\frac{7+0,9+1,2}{10}=\frac{9,1}{10}=0,91,
x_{3}^{(2)}=\frac{6+2\cdot 0,7}{10}=\frac{6+1,4}{10}=\frac{7,4}{10}=0,74.
Logo x^{(2)}=(1,04,\;0,91,\;0,74).
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{|1,04-0,9|,|0,91-0,7|,|0,74-0,6|\}=\max\{0,14,0,21,0,14\}=0,21 (ainda > \varepsilon).

Passo 7

Iteração k=2 \to k=3:
x_{1}^{(3)}=\frac{9+2\cdot 0,91}{10}=\frac{9+1,82}{10}=\frac{10,82}{10}=1,082,
x_{2}^{(3)}=\frac{7+1,04+2\cdot 0,74}{10}=\frac{7+1,04+1,48}{10}=\frac{9,52}{10}=0,952,
x_{3}^{(3)}=\frac{6+2\cdot 0,91}{10}=\frac{6+1,82}{10}=\frac{7,82}{10}=0,782.
Logo x^{(3)}=(1,082,\;0,952,\;0,782).
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,042,0,042,0,042\}=0,042 (ainda > \varepsilon).

Passo 8

Iteração k=3 \to k=4:
x_{1}^{(4)}=\frac{9+2\cdot 0,952}{10}=\frac{9+1,904}{10}=\frac{10,904}{10}=1,0904,
x_{2}^{(4)}=\frac{7+1,082+2\cdot 0,782}{10}=\frac{7+1,082+1,564}{10}=\frac{9,646}{10}=0,9646,
x_{3}^{(4)}=\frac{6+2\cdot 0,952}{10}=\frac{6+1,904}{10}=\frac{7,904}{10}=0,7904.
Logo x^{(4)}=(1,0904,\;0,9646,\;0,7904).
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max\{0,0084,0,0126,0,0084\}=0,0126 (ainda > \varepsilon).

Passo 9

Iteração k=4 \to k=5:
x_{1}^{(5)}=\frac{9+2\cdot 0,9646}{10}=\frac{9+1,9292}{10}=\frac{10,9292}{10}=1,09292,
x_{2}^{(5)}=\frac{7+1,0904+2\cdot 0,7904}{10}=\frac{7+1,0904+1,5808}{10}=\frac{9,6712}{10}=0,96712,
x_{3}^{(5)}=\frac{6+2\cdot 0,9646}{10}=\frac{6+1,9292}{10}=\frac{7,9292}{10}=0,79292.
Logo x^{(5)}=(1,09292,\;0,96712,\;0,79292).
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}=\max\{0,00252,0,00252,0,00252\}=0,00252 (ainda > \varepsilon, porém já bem pequeno).

Passo 10

Iteração k=5 \to k=6:
x_{1}^{(6)}=\frac{9+2\cdot 0,96712}{10}=\frac{9+1,93424}{10}=\frac{10,93424}{10}=1,093424,
x_{2}^{(6)}=\frac{7+1,09292+2\cdot 0,79292}{10}=\frac{7+1,09292+1,58584}{10}=\frac{9,67876}{10}=0,967876,
x_{3}^{(6)}=\frac{6+2\cdot 0,96712}{10}=\frac{6+1,93424}{10}=\frac{7,93424}{10}=0,793424.
Logo x^{(6)}=(1,093424,\;0,967876,\;0,793424).
Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=\max\{0,000504,0,000756,0,000504\}=0,000756.
Agora \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=0,000756<\varepsilon=0,001, portanto atingimos a precisão desejada e podemos parar.

Passo 11

Resumo do que foi feito e motivo da parada:
  • As iterações de Jacobi foram aplicadas a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
  • A matriz é estritamente diagonal dominante, logo o método converge.
  • Usamos o critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-3}.
  • A condição foi satisfeita ao passar de k=5 para k=6, com x^{(6)}=(1,093424,\;0,967876,\;0,793424).
    Portanto essa é a aproximação com a precisão exigida.

Resposta

\,x\approx(1,093424,\;0,967876,\;0,793424)

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