Encontre as primeiras duas iterações do método de Gauss-Jacobi dos seguintes sistemas lineares, use x^{(0)}=0 :
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+5 x_{2} & =6 \\\\ 5 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3} & =25 \\\\ -4 x_{2}+8 x_{3}-x_{4} & =-11 \\\\ -x_{3}+5 x_{4} & =-11 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primeiras duas iterações do método de Gauss–Jacobi do sistema linear dado, usando como aproximação inicial x^{(0)}=0.
Dados fornecidos (vou reescrever as equações e os coeficientes do sistema):
\begin{aligned} 10x_{1}+5x_{2} &= 6,\\[4pt] 5x_{1}+10x_{2}-4x_{3} &= 25,\\[4pt] -4x_{2}+8x_{3}-x_{4} &= -11,\\[4pt] -x_{3}+5x_{4} &= -11. \end{aligned}
Condição inicial: \;x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.
O que devo entregar: \;x^{(1)} e \;x^{(2)} obtidos pelo método de Gauss–Jacobi.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi e qual fórmula vou usar (explicação didática):
  • O método de Gauss–Jacobi é um método iterativo para resolver sistemas lineares. A ideia é isolar cada incógnita na sua própria equação e, a cada iteração k+1, calcular cada componente x_i^{(k+1)} usando somente os valores da iteração anterior x^{(k)}.
  • Para uma equação genérica da forma \;a_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j = b_i, a fórmula de iteração de Jacobi é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Aqui:
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na sua própria equação (elemento da diagonal),
  • a_{ij} são os demais coeficientes,
  • b_i é o termo independente da i-ésima equação,
  • x_j^{(k)} são os valores das incógnitas na iteração anterior.
Observação prática: em Jacobi, todos os x_i^{(k+1)} são calculados usando só os valores x^{(k)} (não se usa nenhum valor já atualizado na mesma iteração).

Passo 3

Isolar cada incógnita (vou escrever a fórmula de iteração para cada variável):
Da primeira equação:
10x_{1}+5x_{2}=6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{6-5x_{2}}{10}.
Da segunda equação:
5x_{1}+10x_{2}-4x_{3}=25 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{25-5x_{1}+4x_{3}}{10}.
Da terceira equação:
-4x_{2}+8x_{3}-x_{4}=-11 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-11+4x_{2}+x_{4}}{8}.
Da quarta equação:
-x_{3}+5x_{4}=-11 \quad\Rightarrow\quad x_{4}=\frac{-11+x_{3}}{5}.
Estas são as fórmulas que vou usar em cada iteração, aplicando a regra de Jacobi: no passo k+1 plugo os valores de x_j^{(k)} no lado direito.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.
Usando as fórmulas:
  1. Para x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{6-5x_{2}^{(0)}}{10}=\frac{6-5\cdot 0}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0,6.
  1. Para x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{25-5x_{1}^{(0)}+4x_{3}^{(0)}}{10} =\frac{25-5\cdot 0+4\cdot 0}{10}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}=2,5.
  1. Para x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{-11+4x_{2}^{(0)}+x_{4}^{(0)}}{8} =\frac{-11+4\cdot 0+0}{8}=\frac{-11}{8}=-1,375.
  1. Para x_{4}^{(1)}:
x_{4}^{(1)}=\frac{-11+x_{3}^{(0)}}{5}=\frac{-11+0}{5}=\frac{-11}{5}=-2,2.
Assim:
x^{(1)}=\bigl(0,6,\;2,5,\;-1,375,\;-2,2\bigr)^T.

Passo 5

Segunda iteração: calcular x^{(2)} usando os valores de x^{(1)} que acabamos de obter.
  1. Para x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{6-5x_{2}^{(1)}}{10} =\frac{6-5\cdot 2,5}{10} =\frac{6-12,5}{10} =\frac{-6,5}{10}=-0,65.
  1. Para x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{25-5x_{1}^{(1)}+4x_{3}^{(1)}}{10} =\frac{25-5\cdot 0,6 +4\cdot(-1,375)}{10}.
Calculo passo a passo:
25-5\cdot 0,6=25-3=22, \qquad 4\cdot(-1,375)=-5,5,
22+(-5,5)=16,5,
x_{2}^{(2)}=\frac{16,5}{10}=1,65.
  1. Para x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{-11+4x_{2}^{(1)}+x_{4}^{(1)}}{8} =\frac{-11+4\cdot 2,5 + (-2,2)}{8}.
Calculo passo a passo:
4\cdot 2,5=10, \qquad -11+10=-1, \qquad -1+(-2,2)=-3,2,
x_{3}^{(2)}=\frac{-3,2}{8}=-0,4.
  1. Para x_{4}^{(2)}:
x_{4}^{(2)}=\frac{-11+x_{3}^{(1)}}{5} =\frac{-11+(-1,375)}{5} =\frac{-12,375}{5}=-2,475.
Portanto:
x^{(2)}=\bigl(-0,65,\;1,65,\;-0,4,\;-2,475\bigr)^T.

Resposta

x^{(1)}=(0,6,\;2,5,\;-1,375,\;-2,2)^T
x^{(2)}=(-0,65,\;1,65,\;-0,4,\;-2,475)^T

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