Considere o sistema linear $()\left\{\begin{array}{ccc}2 x+4 y-6 z & = & a \\\ x-y+4 z & = & b \\\\ 6 y-14 z & = & c\end{array}\right.$ . Seja $W=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y, z)$ satisfaz $\left.()\right\}$ , ou seja, $W$ é o conjunto solução desse sistema.
a) Quais condições devem satisfazer $a, b$ e $c$ para que $W$ seja subespaço vetorial de $\mathbb{R}^{3}$ ?
b) Com as condições determinadas no item anterior, encontre uma base para $W$ .
c) Qual relação existe entre a dimensão de $W$ e o grau de liberdade do sistema? Esse resultado é valido para qualquer sistema homogêneo?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear

(*)\quad \begin{cases} 2x + 4y - 6z = a,\\\ x - y + 4z = b,\\\\ 6y - 14z = c, \end{cases}

define

W\subset\mathbb{R}^3

como o conjunto de soluções de

(*)

e pede:
– (a) condições em

a,b,c

para

W

ser subespaço de

\mathbb{R}^3

;
– (b) com essas condições, uma base de

W

;
– (c) a relação entre

\dim W

e o grau de liberdade do sistema e se isso vale sempre para sistemas homogêneos.
Conteúdo: espaços vetoriais, solução de sistemas lineares, dimensão e grau de liberdade.

Passo 2

Para que

W

seja subespaço de

\mathbb{R}^3

, ele deve conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalar. Em particular,

(0,0,0)\in W

implica

2\cdot0 + 4\cdot0 -6\cdot0 = a,\quad 0 - 0 + 4\cdot0 = b,\quad 6\cdot0 -14\cdot0 = c,

logo é necessário e suficiente que

a = 0,\quad b = 0,\quad c = 0.

Passo 3

Sob

a=b=c=0

, o sistema vira homogêneo

\begin{cases} 2x + 4y -6z = 0,\\\ x - y +4z = 0,\\\\ 6y -14z = 0. \end{cases}

Da terceira equação,

6y -14z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{14}{6}\,z = \frac{7}{3}\,z.

Substituindo na segunda:

x - \frac{7}{3}z + 4z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{7}{3}z - 4z = -\frac{5}{3}z.

A primeira fica automaticamente satisfeita.

Passo 4

Chamando

z = t

, temos a solução geral

(x,y,z) = \bigl(-\tfrac{5}{3}t,\;\tfrac{7}{3}t,\;t\bigr) = t\,\bigl(-\tfrac{5}{3},\tfrac{7}{3},1\bigr).

Para evitar frações, escolhemos

t=3s

, obtendo

(x,y,z) = s\,(-5,7,3),

logo

W = \mathrm{span}\{(-5,7,3)\}

e uma base de

W

\{(-5,7,3)\}

Passo 5

O grau de liberdade do sistema é o número de variáveis independentes (aqui

1

, pois só

z

é livre). Vemos que

\dim W = 1 = \text{grau de liberdade}.

Em geral, para qualquer sistema homogêneo de

n

variáveis, a dimensão do espaço solução é igual ao número de parâmetros livres (ou seja,

n - \mathrm{posto}(A)

Resposta

a) É necessário e suficiente que

a = 0,\quad b = 0,\quad c = 0.

b) Uma base de

W

\{\,(-5,7,3)\}.

c) A dimensão de

W

coincide com o grau de liberdade (número de variáveis livres) do sistema. Esse fato vale para qualquer sistema homogêneo.

Exercícios relacionados

Sejam

\alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\}, \gamma=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\}

\rho= \{(2,0),(0,2)\}

bases de

\mathbb{R}^{2}

.
a) Encontre as seguintes matrizes mudança de base.
i)

(M)_{\alpha}^{\beta}

ii)

(M)_{\beta}^{\alpha}

iii)

(M)_{\gamma}^{\alpha}

iv)

(M)_{\rho}^{\alpha}

b) Quais são as coordenadas do vetor

v=(3,-2)

em relação às seguintes bases.
i)

\alpha

ii)

\beta

iii)

\gamma

iv)

\rho

c) As coordenadas de um vetor

v

em relação à base

\beta

são dadas por

[v]_{\beta}=\binom{4}{0}

. Quais são as coordenadas de

v

em relação à base:
i)

\alpha

ii)

\gamma

iii)

\rho

Considere o sistema linear

(*)\left\{\begin{array}{ccc}2 x+4 y-6 z & = & a \\\ x-y+4 z & = & b \\\\ 6 y-14 z & = & c\end{array}\right.

. Seja

W=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y, z)

satisfaz

\left.(*)\right\}

, ou seja,

W

é o conjunto solução desse sistema.
a) Quais condições devem satisfazer

a, b

c

para que

W

seja subespaço vetorial de

\mathbb{R}^{3}

?
b) Com as condições determinadas no item anterior, encontre uma base para

W

.
c) Qual relação existe entre a dimensão de

W

e o grau de liberdade do sistema? Esse resultado é valido para qualquer sistema homogêneo?

Sejam

\alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\}, \gamma=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\}

\rho= \{(2,0),(0,2)\}

bases de

\mathbb{R}^{2}

.
a) Encontre as seguintes matrizes mudança de base.
i)

(M)_{\alpha}^{\beta}

ii)

(M)_{\beta}^{\alpha}

iii)

(M)_{\gamma}^{\alpha}

iv)

(M)_{\rho}^{\alpha}

b) Quais são as coordenadas do vetor

v=(3,-2)

em relação às seguintes bases.
i)

\alpha

ii)

\beta

iii)

\gamma

iv)

\rho

c) As coordenadas de um vetor

v

em relação à base

\beta

são dadas por

[v]_{\beta}=\binom{4}{0}

. Quais são as coordenadas de

v

em relação à base:
i)

\alpha

ii)

\gamma

iii)

\rho