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Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\}, \gamma=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \rho= \{(2,0),(0,2)\} bases de \mathbb{R}^{2}.
a) Encontre as seguintes matrizes mudança de base.
i) (M)_{\alpha}^{\beta}
ii) (M)_{\beta}^{\alpha}
iii) (M)_{\gamma}^{\alpha}
iv) (M)_{\rho}^{\alpha}
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às seguintes bases.
i) \alpha
ii) \beta
iii) \gamma
iv) \rho
c) As coordenadas de um vetor v em relação à base \beta são dadas por [v]_{\beta}=\binom{4}{0}. Quais são as coordenadas de v em relação à base:
i) \alpha
ii) \gamma
iii) \rho

Passo 1

O enunciado fornece quatro bases de \mathbb{R}^2:
\alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica),
\beta=\{(-1,1),(1,1)\},
\gamma=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\},
\rho=\{(2,0),(0,2)\}.
Precisamos (a) achar as matrizes de mudança de base
(M)_\alpha^\beta,\,(M)_\beta^\alpha,\,(M)_\gamma^\alpha,\,(M)_\rho^\alpha,
(b) calcular as coordenadas de v=(3,-2) nessas bases, e
(c) dado [v]_\beta=\binom{4}{0}, encontrar [v]_\alpha,\,[v]_\gamma,\,[v]_\rho.
Usamos a propriedade de que, se [v]_\text{orig} são coordenadas em uma base e queremos em outra, aplicamos a matriz de transição apropriada.

Passo 2

Para (M)_\alpha^\beta tomamos cada vetor de \alpha e expressamos em \beta.
  1. Escrever (1,0)=c_1(-1,1)+c_2(1,1).
    Resolvendo -c_1+c_2=1 e c_1+c_2=0 dá c_1=-\tfrac12, c_2=\tfrac12.
  2. Escrever (0,1)=d_1(-1,1)+d_2(1,1).
    Resolvendo -d_1+d_2=0 e d_1+d_2=1 dá d_1=\tfrac12, d_2=\tfrac12.
    Logo,
(M)_\alpha^\beta =\begin{pmatrix} -\tfrac12 & \tfrac12\\[6pt] \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para (M)_\beta^\alpha basta colocar os vetores de \beta em coordenadas canônicas ( \alpha):
(M)_\beta^\alpha =\begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para (M)_\gamma^\alpha colocamos cada vetor de \gamma em coordenadas canônicas:
(M)_\gamma^\alpha =\begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{3}\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para (M)_\rho^\alpha usamos os vetores de \rho em coordenadas canônicas:
(M)_\rho^\alpha =\begin{pmatrix} 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

As coordenadas de v=(3,-2) na base \alpha são simplesmente
[v]_\alpha = \begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 7

Para [v]_\beta usamos
[v]_\beta=(M)_\alpha^\beta\,[v]_\alpha:
[v]_\beta =\begin{pmatrix} -\tfrac12 & \tfrac12\\[4pt] \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac52\\[4pt]\tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 8

Para [v]_\gamma resolvemos
c_1(\sqrt{3},1)+c_2(\sqrt{3},-1)=(3,-2),
isto é
\sqrt{3}(c_1+c_2)=3 e c_1-c_2=-2,
que dá
c_1=\frac{\sqrt{3}-2}{2}, \quad c_2=\frac{\sqrt{3}+2}{2}.
Logo
[v]_\gamma =\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\[6pt] \dfrac{\sqrt{3}+2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 9

Para [v]_\rho escrevemos
e_1(2,0)+e_2(0,2)=(3,-2),
logo 2e_1=3, 2e_2=-2, ou seja e_1=\tfrac32, e_2=-1.
[v]_\rho=\begin{pmatrix}\tfrac32\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora, em (c), dado [v]_\beta=(4,0), reconstrói-se
v=4\cdot(-1,1)=(-4,4).
Logo em \alpha:
[v]_\alpha=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 11

Para [v]_\gamma escrevemos
d_1(\sqrt{3},1)+d_2(\sqrt{3},-1)=(-4,4),
isto é \sqrt{3}(d_1+d_2)=-4, d_1-d_2=4.
Daí
d_1=\frac{-4/\sqrt{3}+4}2, \quad d_2=\frac{-4/\sqrt{3}-4}2.
[v]_\gamma =\begin{pmatrix} \dfrac{-4/\sqrt{3}+4}2\\[6pt] \dfrac{-4/\sqrt{3}-4}2 \end{pmatrix}.]

Passo 12

Para [v]_\rho escrevemos
\ell_1(2,0)+\ell_2(0,2)=(-4,4),
logo \ell_1=-2, \ell_2=2.
[v]_\rho=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

a)
i) \displaystyle (M)_\alpha^\beta =\begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac12\\[4pt]\tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix}
ii) \displaystyle (M)_\beta^\alpha =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}
iii) \displaystyle (M)_\gamma^\alpha =\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
iv) \displaystyle (M)_\rho^\alpha =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}
b) Para v=(3,-2):
i) [v]_\alpha=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}
ii) [v]_\beta=\begin{pmatrix}-\tfrac52\\[4pt]\tfrac12\end{pmatrix}
iii) [v]_\gamma=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}-2}2\\[6pt]\tfrac{\sqrt{3}+2}2\end{pmatrix}
iv) [v]_\rho=\begin{pmatrix}\tfrac32\\[4pt]-1\end{pmatrix}
c) Dado [v]_\beta=(4,0) (logo v=(-4,4)):
i) [v]_\alpha=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}
ii) [v]_\gamma=\begin{pmatrix}\tfrac{-4/\sqrt{3}+4}2\\[6pt]\tfrac{-4/\sqrt{3}-4}2\end{pmatrix}
iii) [v]_\rho=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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