e pede para resolver usando o cálculo da matriz inversa.
Informações dadas: todas as entradas de A e as entradas de b estão acima. A pergunta é: encontrar o vetor x=(x_1,x_2,x_3)^T que satisfaz A x=b.
Passo 2
Idéia principal (fórmula que vamos usar). Se A é invertível (ou seja, \det A\neq0), então a solução do sistema é
x=A^{-1}b.
Aqui A^{-1} é a matriz inversa de A, definida pela relação A^{-1}A=I. Vou então:
Calcular \det A para saber se A é invertível.
Calcular A^{-1} usando a relação A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A), onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (transposta da matriz dos cofatores).
Multiplicar A^{-1} por b para obter x.
Passo 3
Calcular \det A (usando a fórmula de Laplace/expansão por primeira linha):
\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo os elementos de A (a_{11}=2, a_{12}=-3, a_{13}=1, a_{21}=4, a_{22}=-6, a_{23}=-1, a_{31}=1, a_{32}=2, a_{33}=1):
Como \det A=21\neq0, A é invertível e podemos prosseguir.]
Passo 4
Calcular a matriz dos cofatores. Para cada entrada c_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
Calcular os menores e cofatores:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-6 & -1 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=(-6)\cdot1-(-1)\cdot2=-6+2=-4, então c_{11}=(-1)^{2}(-4)=-4.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}4 & -1 \\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-(-1)\cdot1=4+1=5, então c_{12}=(-1)^{3}\cdot5=-5.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}4 & -6 \\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-(-6)\cdot1=8+6=14, então c_{13}=(-1)^{4}\cdot14=14.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=(-3)\cdot1-1\cdot2=-3-2=-5, então c_{21}=(-1)^{3}\cdot(-5)=5.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=2-1=1, então c_{22}=(-1)^{4}\cdot1=1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & -3 \\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-3)\cdot1=4+3=7, então c_{23}=(-1)^{5}\cdot7=-7.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[2pt] -6 & -1\end{pmatrix}=(-3)\cdot(-1)-1\cdot(-6)=3+6=9, então c_{31}=(-1)^{4}\cdot9=9.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 4 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot4=-2-4=-6, então c_{32}=(-1)^{5}\cdot(-6)=6.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & -3 \\[2pt] 4 & -6\end{pmatrix}=2\cdot(-6)-(-3)\cdot4=-12+12=0, então c_{33}=(-1)^{6}\cdot0=0.