Considere o sistema linear:
\left(\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1 \\\\ 4 & -6 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -5 \\\\ -7 \\\\ 4 \end{array}\right) .
Resolva-o usando o cálculo da matriz inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A x = b com
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1 \\\\ 4 & -6 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right), \qquad b=\left(\begin{array}{r} -5 \\\\ -7 \\\\ 4 \end{array}\right),
e pede para resolver usando o cálculo da matriz inversa.
Informações dadas: todas as entradas de A e as entradas de b estão acima. A pergunta é: encontrar o vetor x=(x_1,x_2,x_3)^T que satisfaz A x=b.

Passo 2

Idéia principal (fórmula que vamos usar). Se A é invertível (ou seja, \det A\neq0), então a solução do sistema é
x=A^{-1}b.
Aqui A^{-1} é a matriz inversa de A, definida pela relação A^{-1}A=I. Vou então:
  1. Calcular \det A para saber se A é invertível.
  2. Calcular A^{-1} usando a relação A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A), onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (transposta da matriz dos cofatores).
  3. Multiplicar A^{-1} por b para obter x.

Passo 3

Calcular \det A (usando a fórmula de Laplace/expansão por primeira linha):
\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo os elementos de A ( a_{11}=2, a_{12}=-3, a_{13}=1, a_{21}=4, a_{22}=-6, a_{23}=-1, a_{31}=1, a_{32}=2, a_{33}=1):
\begin{aligned} \det A &= 2\big((-6)\cdot1 - (-1)\cdot2\big) - (-3)\big(4\cdot1 - (-1)\cdot1\big) + 1\big(4\cdot2 - (-6)\cdot1\big)\\[4pt] &= 2(-6+2) + 3(4+1) + 1(8+6)\\[4pt] &= 2(-4) + 3\cdot5 + 14\\[4pt] &= -8 +15 +14 = 21. \end{aligned}
Como \det A=21\neq0, A é invertível e podemos prosseguir.]

Passo 4

Calcular a matriz dos cofatores. Para cada entrada c_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
Calcular os menores e cofatores:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}-6 & -1 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=(-6)\cdot1-(-1)\cdot2=-6+2=-4, então c_{11}=(-1)^{2}(-4)=-4.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}4 & -1 \\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-(-1)\cdot1=4+1=5, então c_{12}=(-1)^{3}\cdot5=-5.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}4 & -6 \\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-(-6)\cdot1=8+6=14, então c_{13}=(-1)^{4}\cdot14=14.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=(-3)\cdot1-1\cdot2=-3-2=-5, então c_{21}=(-1)^{3}\cdot(-5)=5.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=2-1=1, então c_{22}=(-1)^{4}\cdot1=1.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & -3 \\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-3)\cdot1=4+3=7, então c_{23}=(-1)^{5}\cdot7=-7.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[2pt] -6 & -1\end{pmatrix}=(-3)\cdot(-1)-1\cdot(-6)=3+6=9, então c_{31}=(-1)^{4}\cdot9=9.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 4 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot4=-2-4=-6, então c_{32}=(-1)^{5}\cdot(-6)=6.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & -3 \\[2pt] 4 & -6\end{pmatrix}=2\cdot(-6)-(-3)\cdot4=-12+12=0, então c_{33}=(-1)^{6}\cdot0=0.
Assim, a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -4 & -5 & 14 \\\\ 5 & 1 & -7 \\\\ 9 & 6 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Formar a adjunta (adjugate) como a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -4 & 5 & 9 \\\\ -5 & 1 & 6 \\\\ 14 & -7 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Calcular a inversa usando A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A). Como \det A=21,
A^{-1}=\frac{1}{21} \begin{pmatrix} -4 & 5 & 9 \\\\ -5 & 1 & 6 \\\\ 14 & -7 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Calcular x=A^{-1}b. Primeiro efetuo o produto \operatorname{adj}(A)\,b:
\operatorname{adj}(A)\,b= \begin{pmatrix} -4 & 5 & 9 \\\\ -5 & 1 & 6 \\\\ 14 & -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5\\[2pt]-7\\[2pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(-5)+5(-7)+9\cdot4\\[4pt] -5(-5)+1(-7)+6\cdot4\\[4pt] 14(-5)+(-7)(-7)+0\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21\\[4pt] 42\\[4pt] -21 \end{pmatrix}.
Agora multiplico por 1/21:
x=\frac{1}{21}\begin{pmatrix}21\\[2pt]42\\[2pt]-21\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 8

(Verificação rápida) Posso conferir multiplicando A x:
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-3)\cdot2 + 1\cdot(-1)\\[4pt] 4\cdot1 + (-6)\cdot2 + (-1)\cdot(-1)\\[4pt] 1\cdot1 + 2\cdot2 + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 -6 -1\\[4pt] 4 -12 +1\\[4pt] 1 +4 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[2pt]-7\\[2pt]4\end{pmatrix}=b,
confirmando que a solução está correta.]

Resposta

x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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