Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & x \\\ y & 1 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{cc} 4 & -3 x \\\\ 14-y & 2 \end{array}\right) .
Determinar os valores de x e y, sabendo que: A+A^{t}=B.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & x\\[4pt] y & 1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}4 & -3x\\[4pt] 14-y & 2\end{pmatrix},
e pede para determinar os valores de x e y sabendo que
A + A^{t} = B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As entradas desconhecidas são x e y.
  • A condição imposta é a igualdade entre as matrizes A+A^{t} e B, o que significa igualdade elemento a elemento das duas matrizes.]

Passo 2

Primeiro vamos calcular A^{t}, a transposta de A. Lembre que a transposta troca linhas por colunas: a entrada (i,j) de A vira a entrada (j,i) de A^{t}. Assim, para
A=\begin{pmatrix}2 & x\\[4pt] y & 1\end{pmatrix},
temos
A^{t}=\begin{pmatrix}2 & y\\[4pt] x & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora somamos A e A^{t}. A soma de matrizes é feita elemento a elemento, isto é, somam-se as entradas correspondentes. Assim,
A + A^{t}= \begin{pmatrix} 2+2 & x+y\\[4pt] y+x & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & x+y\\[4pt] x+y & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Impondo a igualdade A+A^{t}=B igualamos as entradas correspondentes das duas matrizes. Escrevendo as matrizes lado a lado:
\begin{pmatrix} 4 & x+y\\[4pt] x+y & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3x\\[4pt] 14-y & 2 \end{pmatrix}.
Da igualdade elemento a elemento obtemos as equações:
4=4,\qquad x+y=-3x,\qquad x+y=14-y,\qquad 2=2.
As equações não triviais são
x+y=-3x \qquad\text{e}\qquad x+y=14-y.]

Passo 5

Trabalhando a primeira equação \,x+y=-3x\,, isolamos y:
x+y=-3x \quad\Rightarrow\quad y=-3x-x=-4x.

Passo 6

Trabalhando a segunda equação \,x+y=14-y\,, recolhemos termos semelhantes:
x+y=14-y \quad\Rightarrow\quad x+2y=14.

Passo 7

Substituímos y=-4x em x+2y=14:
x+2(-4x)=14 \quad\Rightarrow\quad x-8x=14 \quad\Rightarrow\quad -7x=14.
Logo
x=-2.

Passo 8

Agora calculamos y usando y=-4x:
y=-4(-2)=8.

Passo 9

Verificação rápida: com x=-2 e y=8,
x+y=-2+8=6,\qquad -3x=-3(-2)=6,\qquad 14-y=14-8=6,
portanto as entradas off-diagonais coincidem e as diagonais já eram iguais. A solução está consistente.

Resposta

x=-2
y=8

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