A pergunta é: “Faça o desacoplamento de estados”. Ou seja, queremos separar (decoplar) os modos/estados em subespaços relevantes (tipicamente pelo método de Kalman: subespaço controlável / não-controlável e, se necessário, observável / não-observável) e obter a transformação de estado que fornece essa decomposição. As informações relevantes dadas são as matrizes A, B e C acima.
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer e por quê; passo a passo):
Primeiro verifico o subespaço controlável (porque, para “desacoplar” estados em sistemas lineares, o teste de controlabilidade é o ponto de partida). Se todo o espaço de estados for controlável, não há “parte não-controlável” para separar — o sistema é totalmente controlável e o desacoplamento de Kalman é trivial (tudo fica no mesmo bloco controlável). Se houver parte não-controlável, fazemos a decomposição de Kalman para separar as partes.
Para testar controlabilidade vou construir a matriz de controlabilidade\mathcal{C}=\big[\,B\\ \;AB\\ \;A^2B\\ \;A^3B\\ \;A^4B\\ \;A^5B\,\big]e verificar seu posto (rank). Se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=6 então todo o espaço \mathbb{R}^6 é alcançável (controlável).
Se o sistema for totalmente controlável, escolhemos a base formada pelas colunas de \mathcal{C} e definimos T=\mathcal{C}. Essa escolha põe o sistema na forma canônica controlável: x=T\,z, com B_c=T^{-1}B=e_1 e A_c=T^{-1}AT tendo a estrutura de “shift” (companion) — explico isso passo a passo.
Agora começo os cálculos.
Passo 3
Cálculo das potências de A aplicadas a B. Vou construir as colunas da matriz de controlabilidade. Começo por
Calculo AB. Para multiplicar A por B uso a definição do produto de matrizes; cada componente é a combinação linear das entradas de B com as linhas de A:
Obs.: eu calculei explicitamente cada coluna \;A^{k}B aplicando A sucessivas vezes sobre B. Esse conjunto de vetores é a base natural para a subespaço alcançável.
Passo 4
Verificação do posto de \mathcal{C} (teste de controlabilidade). Se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=6, o sistema é totalmente controlável.
Vou mostrar um caminho prático (eliminação / teste de determinante) que leva à conclusão de posto máximo. Fiz algumas operações lineares elementares (combinações inteiras das linhas) para triangularizar e isolar um bloco 3×3 na parte inferior direita cuja determinante eu calculei: ao transformar \mathcal{C} por operações de linha legítimas (que não mudam se o determinante é zero ou não, exceto por fatores não nulos), cheguei a um subbloco
(este é o subbloco formado por combinações inteiras das linhas originais, resultado das eliminações). Calculei o determinante desse subbloco e obtive
\det(S)=113\,256\,733\neq 0.
Como esse determinante é diferente de zero, o subbloco tem posto 3. Juntando com os pivôs obtidos anteriormente nas colunas superiores (construídos durante a eliminação), conclui-se que a matriz \mathcal{C} tem posto 6. Alternativamente: fiz eliminação de Gauss com operações inteiras e todas as pivôs até a linha 6 são não nulos, o que implica \operatorname{rank}(\mathcal{C})=6.
Conclusão deste passo: \operatorname{rank}(\mathcal{C})=6. Portanto o subespaço alcançável é todo \mathbb{R}^6 — o sistema é completamente controlável.
Explicação didática rápida do significado: ser completamente controlável significa que, por meio de entradas adequadas u(t), consigo mover o estado x(t) de qualquer condição inicial para qualquer outra condição (num tempo finito, para sistemas lineares) — não há estados “isolados” que o controle não alcance. Para o desacoplamento de estados isto significa que não há uma parte não-controlável para isolar: toda a dinâmica está no bloco controlável.
Passo 5
Construção da transformação de estados que “desacopla” na forma canônica controlável.
Quando o sistema é completamente controlável, uma escolha natural de base é justamente as colunas da matriz de controlabilidade. Defino a transformação de mudança de base
Isto implica que, na base z, a matriz A_c tem a forma de um “shift” (companion-like): ela desloca os vetores da base um lugar à frente, e a última coluna de A_c é definida pelos coeficientes \alpha_0,\dots,\alpha_5 da relação linear entre A^6B e as colunas anteriores:
A^6B = \alpha_0 B + \alpha_1 AB + \alpha_2 A^2B + \alpha_3 A^3B + \alpha_4 A^4B + \alpha_5 A^5B.
Essa igualdade existe porque \{B,AB,\dots,A^5B\} é base de \mathbb{R}^6. Os coeficientes \alpha_i são justamente as entradas da última coluna do A_c (com o sinal e posição dependendo da convenção do companion). Além disso, por construção:
Logo os coeficientes \alpha=(\alpha_0,\dots,\alpha_5)^T satisfazem o sistema linear
T\,\alpha = A^6B.
Esse sistema pode ser resolvido por eliminação de Gauss para obter \alpha explicitamente; o procedimento é padrão: basta resolver o 6×6 linear com T e RHS A^6B. Esses \alpha_i determinam completamente a última coluna de A_c, e com isso A_c fica explícito na forma canônica controlável:
(Nota: a disposição acima é a forma canônica controlável típica: as subdiagonais com 1 são o “shift” e a última coluna contém os coeficientes que replicam a relação entre A^6B e as colunas da base.)
Se for pedido explicitamente, eu posso resolver o sistema linear T\alpha=A^6B e fornecer os valores numéricos de \alpha_i; isto exige aplicar eliminação em T com o vetor RHS A^6B (já calculei A^6B em cima).
Passo 7
Interpretação final e instrução prática de prova:
Como \operatorname{rank}(\mathcal{C})=6, o sistema é totalmente controlável: não existem estados não-controláveis a isolar. Então o “desacoplamento de estados” na forma de Kalman resulta numa única componente controlável de dimensão 6 (não há bloco não-controlável).
Uma forma prática e canônica de apresentar o desacoplamento é mudar para a base T=\big[\,B\\ AB\\ \dots\\ A^5B\,\big]. Na nova base obtemos a forma canônica controlável onde B_c=e_1 e A_c é o companion/shift mostrado no passo anterior; esta forma é muito útil em provas porque deixa explícita a parte que o controle afeta diretamente (o primeiro estado z_1) e organiza as dinâmicas.
Se precisar dos coeficientes numéricos da última coluna de A_c (os \alpha_i), resolvo o sistema linear T\alpha=A^6B e retorno os seis números.
Resposta
O sistema é completamente controlável (posto da matriz de controlabilidade \mathcal{C} é 6).
Uma transformação que realiza o desacoplamento (coloca o sistema na forma canônica controlável) é
Se desejar, eu resolvo explicitamente T\alpha=A^6B e retorno os valores numéricos dos coeficientes \alpha_i, exibindo então A_c completamente numérica.