O enunciado pede para “desacoplar os estados” do sistema em I. Isto significa encontrar uma mudança de base (uma transformação de coordenadas) x = T z que coloque a dinâmica em uma forma onde a matriz de estados fica em blocos que não se misturam (modo modal real), isto é:
Para o par complexo \lambda=-2\pm 2\j vamos obter uma base real usando a parte real e imaginária de um autovetor complexo. Resolvendo (A-(-2+2\j)I)v=0 (fórmula já aplicada nos cálculos), escolhemos v_{3}=1 e obtemos o autovetor complexo
ou seja, colunas v^{(1)},\,p,\,q. Pela construção temos a relação matricial
A\,T = T\,A_{\text{bar}},
onde A_{\text{bar}} é a representação de A na base \{v^{(1)},p,q\}. Usando as igualdades de ação de A sobre essas colunas, obtemos diretamente (sem inverter T) que
Note que A_{\text{bar}} é em bloco: um bloco 1\times1 com -1 e um bloco real 2\times2 correspondente ao par complexo \{-2\pm 2\j\}:
\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix},
que é a forma real que representa a dinâmica complexa modal.]
Passo 6
Agora calculamos B_{\text{bar}}=T^{-1}B\). Em vez de inverter \(T\) explicitamente, escrevemos \(B\) como combinação linear das colunas de \(T\):
\[B=\alpha\,v^{(1)}+\beta\,p+\gamma\,q.
Escrevendo componente por componente temos o sistema
Da terceira equação segue \beta=\alpha\]. Substituindo na segunda: \(\alpha-2\alpha+2\gamma=0\Rightarrow -\alpha+2\gamma=0\Rightarrow \gamma=\alpha/2. Substituindo na primeira: