Desacople os estados dos sistemas dados em I:
\dot{x}(t)=\left[\begin{array}{ccc}-5 & -12 & -8 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] u(t)
y(t)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \end{array}\right] x(t)

Passo 1

O enunciado pede para “desacoplar os estados” do sistema em I. Isto significa encontrar uma mudança de base (uma transformação de coordenadas) x = T z que coloque a dinâmica em uma forma onde a matriz de estados fica em blocos que não se misturam (modo modal real), isto é:
\dot{z}(t)=A_{\text{bar}}\,z(t)+B_{\text{bar}}\,u(t),\qquad y(t)=C_{\text{bar}}\,z(t),
onde A_{\text{bar}}=T^{-1}AT, B_{\text{bar}}=T^{-1}B e C_{\text{bar}}=CT. Os dados do problema são:
A=\begin{pmatrix}-5 & -12 & -8\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
A resolução começará a partir da determinação dos autovalores e autovetores de A.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Calculamos \det(\lambda I-A):
\det(\lambda I-A)=\lambda^{3}+5\lambda^{2}+12\lambda+8.
Fatorando, testamos \lambda=-1 e obtemos raiz: (-1)^3+5(-1)^2+12(-1)+8=0. Logo \lambda+1 é fator. Fazendo a divisão polinomial:
\lambda^{3}+5\lambda^{2}+12\lambda+8=(\lambda+1)(\lambda^{2}+4\lambda+8).
As raízes do quadrático são \lambda=-2\pm 2\j. Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-2+2\j,\qquad \lambda_{3}=-2-2\j.

Passo 3

Encontrar um autovetor real associado a \lambda_{1}=-1. Resolvemos (A+I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}-4 & -12 & -8\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[2pt]v_{2}\\[2pt]v_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Das duas últimas equações obtemos v_{1}=-v_{2} e v_{3}=-v_{2}. Tomando v_{2}=1 obtemos o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix},
que satisfaz A v^{(1)}=-1\cdot v^{(1)}.]

Passo 4

Para o par complexo \lambda=-2\pm 2\j vamos obter uma base real usando a parte real e imaginária de um autovetor complexo. Resolvendo (A-(-2+2\j)I)v=0 (fórmula já aplicada nos cálculos), escolhemos v_{3}=1 e obtemos o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}-8\j\\[2pt]-2+2\j\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Separe a parte real p e a imaginária q:
p=\operatorname{Re}(v)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad q=\operatorname{Im}(v)=\begin{pmatrix}-8\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Esses vetores reais satisfazem as relações (estas relações são a forma real do autovetor complexo):
A p = -2\,p -2\,q,\qquad A q = 2\,p -2\,q.
Podemos verificar isso multiplicando A por p e por q (cálculo direto), que confirma as igualdades.]

Passo 5

Formamos a matriz de transformação T cujas colunas são os vetores escolhidos (autovetor real e as partes real e imaginária do autovetor complexo):
T=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -8\\[4pt] 1 & -2 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
ou seja, colunas v^{(1)},\,p,\,q. Pela construção temos a relação matricial
A\,T = T\,A_{\text{bar}},
onde A_{\text{bar}} é a representação de A na base \{v^{(1)},p,q\}. Usando as igualdades de ação de A sobre essas colunas, obtemos diretamente (sem inverter T) que
A_{\text{bar}}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Note que A_{\text{bar}} é em bloco: um bloco 1\times1 com -1 e um bloco real 2\times2 correspondente ao par complexo \{-2\pm 2\j\}:
\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix},
que é a forma real que representa a dinâmica complexa modal.]

Passo 6

Agora calculamos B_{\text{bar}}=T^{-1}B\). Em vez de inverter \(T\) explicitamente, escrevemos \(B\) como combinação linear das colunas de \(T\): \[B=\alpha\,v^{(1)}+\beta\,p+\gamma\,q.
Escrevendo componente por componente temos o sistema
\begin{cases} -\alpha -8\gamma = 1,\\[4pt] \alpha -2\beta +2\gamma = 0,\\[4pt] -\alpha +\beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue \beta=\alpha\]. Substituindo na segunda: \(\alpha-2\alpha+2\gamma=0\Rightarrow -\alpha+2\gamma=0\Rightarrow \gamma=\alpha/2. Substituindo na primeira:
-\alpha -8(\alpha/2)=1\Rightarrow -\alpha -4\alpha =1\Rightarrow -5\alpha=1\Rightarrow \alpha=-\tfrac{1}{5}.
Portanto
\alpha=-\tfrac{1}{5},\qquad \beta=-\tfrac{1}{5},\qquad \gamma=-\tfrac{1}{10},
e assim
B_{\text{bar}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{10}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalmente calculamos C_{\text{bar}}=C\,T. Basta multiplicar a linha C=(0\;1\;0) pela matriz T. Isso é pegar a segunda linha de T. Assim
C_{\text{bar}}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2\end{pmatrix}.
Com isso temos o sistema transformado z-dinâmico:
\dot{z} = A_{\text{bar}} z + B_{\text{bar}} u,\qquad y = C_{\text{bar}} z,
onde A_{\text{bar}},B_{\text{bar}},C_{\text{bar}} são os obtidos acima.

Resposta

T=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -8\\[4pt] 1 & -2 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
A_{\text{bar}}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}
B_{\text{bar}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{10}\end{pmatrix}
C_{\text{bar}}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2\end{pmatrix}]

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