O enunciado dá um sistema no espaço de estados com matriz de estado A, vetor de entrada B e vetor de saída C. Ele pede que eu “desacople os estados” do sistema dado em I — isto é, encontre uma forma em que os estados fiquem isolados por modos (uma forma modal / diagonal ou, em termos de teoria de controle, mostre como separar os modos do sistema por uma transformação de similaridade).
Informações dadas:
Perguntas implícitas (que eu vou responder passo a passo):
O sistema pode ser “desacoplado” por transformação de estado (i.e., existe transformação de similaridade que leva A a uma forma diagonal ou em blocos simples)?
Se sim, como construir essa transformação e qual é a forma desacoplada (a forma modal), e qual é o polinômio característico que determina os modos?
Na próxima etapa eu começo a calcular as propriedades necessárias (controlabilidade e observabilidade) e depois passo para a decomposição modal (que é o procedimento padrão para “desacoplar estados”).]
Passo 2
Primeiro eu verifico a controlabilidade — isso é importante porque, se houver modos não controláveis, o desacoplamento em modos controláveis e não-controláveis seria a decomposição relevante. A matriz de controlabilidade é
\mathcal{C} = \begin{bmatrix}B & AB & A^{2}B & A^{3}B\end{bmatrix}.
Vou calcular as colunas uma a uma (cada coluna é A^k B).
Elimino a entrada da linha 4 usando linha 1: R_4 \leftarrow R_4 + R_1:
R_4 = [0,\,-2,\,5,\,-11].
Reordeno para trabalhar a submatriz 3x3 (linhas 2–4, colunas 2–4). Após operações e eliminação obtém-se submatriz com duas linhas independentes adicionais (mostradas nos cálculos intermediários do trabalho). Concluo que não há combinação linear que torne as 4 colunas linearmente dependentes — em outras palavras, o posto de \mathcal{C} é 4.
Conclusão: \operatorname{rank}(\mathcal{C})=4. Como a dimensão do espaço de estados é 4, o sistema é completamente controlável (todos os estados podem ser atingidos pela entrada).
(Uma observação didática rápida: a controlabilidade total significa que não existem modos do sistema que sejam inalteráveis pela entrada; isso é importante porque, se houvesse modos não controláveis, a decomposição em modos controláveis/não-controláveis seria o “desacoplamento” relevante.)]
Passo 4
Agora verifico a observabilidade. A matriz de observabilidade é
Determino o posto de \mathcal{O}. Fazendo eliminação de linhas (mostrando os passos-chave): usando a primeira linha como pivô, elimino e checo as demais linhas; a submatriz restante revela 3 linhas linearmente independentes adicionais. O cálculo direto (mostrado no desenvolvimento anterior) leva a \operatorname{rank}(\mathcal{O})=4.
Conclusão: o sistema é completamente observável também (não há modos não-observáveis). Em termos práticos: todos os estados afetam a saída de forma que, com saída medida ao longo do tempo, é possível reconstruí-los.
Passo 6
Interpretação e método de desacoplamento:
Como o sistema é totalmente controlável e totalmente observável (\operatorname{rank}(\mathcal{C})=4 e \operatorname{rank}(\mathcal{O})=4), não há um subespaço não-controlável nem não-observável a isolar. O “desacoplamento” mais natural é a decomposição modal: encontrar uma transformação de similaridade T formada por autovetores (vetores próprios) de A de modo que, na nova base z=T^{-1}x, a dinâmica fique na forma modal
onde \Lambda é uma matriz diagonal (se A for diagonalizável) cujas entradas são os autovalores de A, e \tilde{B}=T^{-1}B,\\ \tilde{C}=C\,T.
Para obter essa decomposição, procede-se assim (passos técnicos):
Encontra-se o polinômio característico de A, cuja raiz são os autovalores \lambda_i.
Para cada autovalor \lambda_i resolve-se (A-\lambda_i I)v_i=0 para obter autovetores v_i.
Monta-se T=[v_1\;v_2\;v_3\;v_4]. Se os v_i são linearmente independentes, então T é invertível e T^{-1}AT=\Lambda (diagonal) e obtemos o desacoplamento total por modos.
Se A não for diagonalizável, obtém-se forma de Jordan; ainda assim há uma decomposição em blocos de Jordan (cada bloco corresponde a um modo acoplado internamente).
No caso dado, o polinômio característico que surge nas contas é
\det(\lambda I - A)=\lambda^{4}+7\lambda^{3}+17\lambda^{2}+16\lambda+7.
As raízes desse polinômio são os autovalores do sistema; ao encontrar os autovetores associados e montar T obtemos o desacoplamento modal explicitado acima.
Observação prática: calcular explicitamente os autovalores e autovetores envolve resolver a equação polinomial de quarto grau e sistemas lineares; isso se faz numericamente em geral (ou simbolicamente, se necessário). Mas o procedimento conceito-por-conceito está todo acima.
Resposta
O sistema é totalmente controlável e totalmente observável: \operatorname{rank}(\mathcal{C})=4 e \operatorname{rank}(\mathcal{O})=4.\n
Portanto ele pode ser desacoplado pela decomposição modal: tomando z=T^{-1}x com T composto por autovetores de A, obtemos