Considere um sistema com momento angular , cujo espaço de estados é gerado pela base de três autovetores comuns de (autovalor ) e (autovalores e respectivamente). O estado do sistema é:
onde e são três parâmetros complexos dados
a) Calcule o valor médio do momento angular, , em termos de e
b) Dê a expressões para os três valores médios e em termos de e
DICA: Escreva e em termos de e ou utilize as representações matriciais de e . Nesta base, a representação matricial de é
Passo 1
O exercício envolve um sistema de spin j=1 no qual o estado geral é \
Essas matrizes vêm da definição de Jpm e de Ji=(J+ + J-)/2 ou (J+ - J-)/(2i).
Passo 3
Para achar lang<= Jirang<= =lang<=psi|Ji|psirang<=, representamos |psirang<= como o vetor
$ (\alpha,,\beta,,\gamma)^T$. Fazendo os produtos, obtemos:
\
a) (\langle\vec J\rangle = \bigl(\sqrt2,\hbar,\mathrm{Re}(\alpha*\beta+\beta\gamma),;\sqrt2,\hbar,\mathrm{Im}(\alpha*\beta+\beta\gamma),;\hbar(|\alpha|2-|\gamma|2)\bigr).\
b)
(\langle J_x2\rangle=\tfrac{\hbar2}{2}\bigl(|\alpha|2+2|\beta|2+|\gamma|2+2\mathrm{Re}(\alpha\gamma)\bigr),;\langle J_y2\rangle=\tfrac{\hbar2}{2}\bigl(|\alpha|2+2|\beta|2+|\gamma|2-2\mathrm{Re}(\alpha\gamma)\bigr),;\langle J_z2\rangle=\hbar2(|\alpha|2+|\gamma|2).