Considere um sistema com momento angular j=1, cujo espaço de estados é gerado pela base |+1rang<=,|0rang<=,|-1rang<= de três autovetores comuns de J^2 (autovalor 2 hbar^2 ) e Jz (autovalores +hbar, 0 e -hbar respectivamente). O estado do sistema é:
|psirang<==alpha|+1rang<=+beta|0rang<=+gamma|-1rang<=
onde alpha, beta e gamma são três parâmetros complexos dados
a) Calcule o valor médio do momento angular, lang<=Jrang<=, em termos de alpha, beta e gamma
b) Dê a expressões para os três valores médios alpha, beta e gamma em termos de Jx e Jy
DICA: Escreva J+ e J- em termos de Jx, Jye Jzou utilize as representações matriciais de |psirang<= e (|psirang<=)=(c alpha beta gamma ) . Nesta base, a representação matricial de é

Passo 1

O exercício envolve um sistema de spin j=1 no qual o estado geral é \
|psirang<= = alpha|+1rang<= + beta|0rang<= + gamma|-1rang<= \
Vamos calcular a) o vetor expectativa lang<=vec Jrang<= e b) as expectativas lang<= Jx^2rang<=,lang<= Jy^2rang<=,lang<= Jz^2rang<=.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as representações matriciais em unidades de hbar para a base |+1rang<=,|0rang<=,|-1rang<=:\
Jx = hbarraiz2 0&1&01&0&10&1&0, Jy = hbarraiz2 0&-i&0i&0&-i0&i&0, Jz = hbar1&0&00&0&00&0&-1 \
Essas matrizes vêm da definição de Jpm e de Ji=(J+ + J-)/2 ou (J+ - J-)/(2i).

Passo 3

Para achar lang<= Jirang<= =lang<=psi|Ji|psirang<=, representamos |psirang<= como o vetor
$ (\alpha,,\beta,,\gamma)^T$. Fazendo os produtos, obtemos:
\
(alpha,,beta,,gamma)^T
lang<= Jxrang<= = hbarraiz2l(alpha^*beta + beta^*alpha + beta^*gamma + gamma^*betar) = raiz2,hbar,Re(alpha^*beta + beta^*gamma),
lang<= Jyrang<= = hbarraiz2l(-ialpha^*beta + ibeta^*alpha - ibeta^*gamma + igamma^*betar) = raiz2,hbar,Im(alpha^*beta + beta^*gamma),

Passo 4

Para as componentes ao quadrado, primeiro montamos as matrizes Jx^2,Jy^2,Jz^2:
\
Jx^2 = hbar^22 1&0&10&2&01&0&1, Jy^2 = hbar^22 1&0&-10&2&0-1&0&1, Jz^2 = hbar^2 1&0&00&0&00&0&1

Passo 5

Finalmente, calculamos lang<= Ji^2rang<= = lang<=psi|Ji^2|psirang<=. O resultado é:
\
lang<= Jx^2rang<= = hbar^22l(|alpha|^2 +2|beta|^2 + |gamma|^2 +2Re(alpha^*gamma)r),
lang<= Jy^2rang<= = hbar^22l(|alpha|^2 +2|beta|^2 + |gamma|^2 -2Re(alpha^*gamma)r),
lang<= Jz^2rang<= = hbar^2l(|alpha|^2 + |gamma|^2r)

Resposta

a) (\langle\vec J\rangle = \bigl(\sqrt2,\hbar,\mathrm{Re}(\alpha*\beta+\beta\gamma),;\sqrt2,\hbar,\mathrm{Im}(\alpha*\beta+\beta\gamma),;\hbar(|\alpha|2-|\gamma|2)\bigr).\
b)
(\langle J_x2\rangle=\tfrac{\hbar2}{2}\bigl(|\alpha|2+2|\beta|2+|\gamma|2+2\mathrm{Re}(\alpha\gamma)\bigr),;\langle J_y2\rangle=\tfrac{\hbar2}{2}\bigl(|\alpha|2+2|\beta|2+|\gamma|2-2\mathrm{Re}(\alpha\gamma)\bigr),;\langle J_z2\rangle=\hbar2(|\alpha|2+|\gamma|2).

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