Considere um sistema de N partículas idênticas mas distinguíveis, cada uma das quais possui dois níveis de energia com energia 0 ou \varepsilon>0. O nível de energia superior tem uma degenerescência g, enquanto o nível inferior não é degenerado. A energia total do sistema é E. Usando o ensemble microcanônico, encontre os números de ocupação n_{+}e n_{0} em termos da temperatura do sistema (onde n_{+} corresponde ao nível superior e n_{0} ao inferior).

Passo 1

Resumindo, temos N partículas distinguíveis, cada uma com dois níveis de energia: nível inferior de energia 0 (não degenerado) e nível superior de energia \varepsilon (degenerescência g). No ensemble microcanônico, a energia total é
E = n_{+}\,\varepsilon,
onde n_{+} é o número de partículas no nível superior e n_{0}=N-n_{+} no nível inferior. Vamos precisar (i) contar o número de microestados \Omega(E), (ii) calcular a entropia S=k\ln\Omega, (iii) usar
\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}
e (iv) isolar n_{+} e n_{0} em função de T.

Passo 2

O número de microestados com exatamente n_{+} partículas excitadas é
\Omega(n_{+}) \;=\;\binom{N}{n_{+}}\;g^{\,n_{+}},
pois escolhemos quais n_{+} de N estão no nível superior e cada uma dessas tem g subníveis.

Passo 3

A entropia é
S = k \ln\Omega(n_{+}) = k\Bigl[\ln N! - \ln n_{+}! - \ln (N-n_{+})! + n_{+}\ln g\Bigr].
Pelo aproximar de Stirling \ln m!\approx m\ln m - m, obtemos
S \approx k\Bigl[N\ln N - n_{+}\ln n_{+} - (N-n_{+})\ln(N-n_{+}) + n_{+}\ln g\Bigr].

Passo 4

Como E = n_{+}\,\varepsilon, temos
\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{1}{\varepsilon}\,\frac{\partial S}{\partial n_{+}}
e
\frac{\partial S}{\partial n_{+}} = k\bigl[-\ln n_{+} + \ln(N-n_{+}) + \ln g\bigr] = k\ln\!\bigl(\tfrac{g\,(N-n_{+})}{n_{+}}\bigr).
Logo
\frac{1}{T} = \frac{1}{\varepsilon}\,k\ln\!\Bigl(\frac{g\,(N-n_{+})}{n_{+}}\Bigr).

Passo 5

Isolando a razão n_{+}/(N-n_{+}), obtemos
\ln\!\Bigl(\frac{g\,(N-n_{+})}{n_{+}}\Bigr) = \frac{\varepsilon}{kT} \quad\Longrightarrow\quad \frac{n_{+}}{N-n_{+}} = g\,e^{-\varepsilon/(kT)}.
Como n_{0}=N-n_{+}, definimos \beta = 1/(kT) e escrevemos
n_{+} = n_{0}\,g\,e^{-\beta\varepsilon}, \quad n_{+}+n_{0}=N.

Passo 6

Resolvendo o sistema para n_{+} e n_{0}:
n_{+} = N\;\frac{g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}{1 + g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}, \qquad n_{0} = N\;\frac{1}{1 + g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}.

Resposta

n_{+} = N\,\frac{g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}{1 + g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}, \quad n_{0} = N\,\frac{1}{1 + g\,e^{-\varepsilon/(kT)}}.

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