Calcule o volume no espaço de fase ocupado por um gás clássico ultra-relativístico tridimensional de N partículas e energia fixa E. Encontre a entropia, a temperatura, a equação de estado e a razão dos calores específicos \gamma=C_{p} / C_{v}.

Passo 1

O problema pede, para um gás clássico ultra-relativístico em três dimensões com N partículas e energia total fixa E, (i) o volume de fase \Omega(E) no ensemble microcanônico, (ii) a entropia S, (iii) a temperatura T, (iv) a equação de estado e (v) a razão dos calores específicos \gamma=C_{p}/C_{v}.
Conteúdo necessário: integral de Dirac no espaço de fases, uso da fator 1/(N!\,h^{3N}), teorema de Stirling e relações termodinâmicas do ensemble microcanônico.

Passo 2

Definimos
\Omega(E) =\frac{1}{N!\,h^{3N}} \int d^{3N}q\;d^{3N}p\;\delta\Bigl(E-\sum_{i=1}^{N}c\,|p_i|\Bigr).
Como não há potencial, a integral em posições dá V^{N}. Em coordenadas esféricas para cada \mathbf p_i:
d^3p_i =4\pi\,p_i^2\,dp_i, \qquad \sum_i c\,|p_i|=E \;\Longrightarrow\; \sum_i p_i=\tfrac{E}{c}.
Fica
\int d^{3N}p\;\delta\Bigl(\sum_i c\,|p_i|-E\Bigr) =(4\pi)^{N} \int_{0}^{\infty}\!\cdots\!\int_{0}^{\infty} \Bigl(\prod_{i=1}^N p_i^2\Bigr) \delta\!\Bigl(\sum_i p_i-\tfrac{E}{c}\Bigr) \prod_{i=1}^N dp_i.
Usando o integral de Dirichlet
\int_{0}^{\infty}\!\cdots\!\int_{0}^{\infty} \prod_{i=1}^N p_i^{\alpha_i-1} \;\delta\Bigl(\sum_i p_i -A\Bigr) \prod_{i=1}^N dp_i =\frac{A^{\sum_i\alpha_i-1}\,\prod_i\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_i\alpha_i\bigr)},
com \alpha_i=3, \sum_i\alpha_i=3N e A=E/c, obtemos
\int d^{3N}p\;\delta\bigl(\sum c|p_i|-E\bigr) =(4\pi)^N\, \frac{(E/c)^{3N-1}\,[\Gamma(3)]^N}{\Gamma(3N)} =(8\pi)^N\, \frac{(E/c)^{3N-1}}{\Gamma(3N)}.
Logo
\boxed{ \Omega(E) =\frac{1}{N!\,h^{3N}}\;V^N\;(8\pi)^N\, \frac{\bigl(\tfrac{E}{c}\bigr)^{3N-1}}{\Gamma(3N)}. }

Passo 3

A entropia no ensemble microcanônico é
S=k\,\ln\Omega(E).
Para N\gg1 usamos Stirling em N! e \Gamma(3N):
\ln N!\simeq N\ln N -N, \quad \ln\Gamma(3N)\simeq3N\ln(3N)-3N.
Mantendo termos de ordem N:
\frac{S}{k} \simeq N\ln V +3N\ln\!\bigl(\tfrac{E}{c}\bigr) +N\ln\!\bigl(\tfrac{8\pi}{h^{3}}\bigr) -\bigl[N\ln N -N\bigr] -\bigl[3N\ln(3N)-3N\bigr].
Reagrupando:
\frac{S}{k} \simeq N\ln V +3N\ln\!\bigl(\tfrac{E}{N\,c}\bigr) +N\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{8\pi}{h^3}\bigr)-3\ln3+4\Bigr].

Passo 4

Definimos a temperatura via
\frac{1}{T} =\Bigl(\frac{\partial S}{\partial E}\Bigr)_{V,N} =\frac{k\,(3N-1)}{E}\simeq\frac{3Nk}{E}.
Logo
\boxed{E=3\,N\,k\,T.}

Passo 5

Usando também
\frac{P}{T} =\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{E,N} =\frac{k\,N}{V},
segue
\boxed{P\,V = N\,k\,T.}
Combinando com E=3NkT, tem-se P=\tfrac{E}{3V}.

Passo 6

Os calores específicos são
C_{V}=\Bigl(\frac{\partial E}{\partial T}\Bigr)_{V} =3\,N\,k, \qquad C_{p}=C_{V}+N\,k=4\,N\,k.
Logo a razão
\boxed{\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}=\frac{4}{3}.}

Resposta

Volume de fase:
\Omega(E) =\frac{(8\pi)^N}{N!\,\Gamma(3N)\,h^{3N}} \,V^N\Bigl(\tfrac{E}{c}\Bigr)^{3N-1}.
Entropia (para N\gg1):
S=k\,\Bigl[N\ln V +3N\ln\!(\tfrac{E}{N\,c}) +N\,\bigl(\ln(\tfrac{8\pi}{h^3})-3\ln3+4\bigr)\Bigr].
Temperatura:
E=3\,N\,k\,T.
Equação de estado:
P\,V=N\,k\,T.
Razão de calores específicos:
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}=\frac{4}{3}.

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