Calcule o volume no espaço de fase ocupado por um gás clássico ultra-relativístico tridimensional de
partículas e energia fixa
. Encontre a entropia, a temperatura, a equação de estado e a razão dos calores específicos
.
Passo 1
O problema pede, para um gás clássico ultra-relativístico em três dimensões com
partículas e energia total fixa
, (i) o volume de fase
no ensemble microcanônico, (ii) a entropia
, (iii) a temperatura
, (iv) a equação de estado e (v) a razão dos calores específicos
.
Conteúdo necessário: integral de Dirac no espaço de fases, uso da fator , teorema de Stirling e relações termodinâmicas do ensemble microcanônico.
Conteúdo necessário: integral de Dirac no espaço de fases, uso da fator
Passo 2
Definimos
Como não há potencial, a integral em posições dá
. Em coordenadas esféricas para cada
:
Fica
Usando o integral de Dirichlet
com
,
e
, obtemos
Logo
Passo 3
A entropia no ensemble microcanônico é
Para
usamos Stirling em
e
:
Mantendo termos de ordem
:
Reagrupando:
Passo 4
Definimos a temperatura via
Logo
Passo 5
Usando também
segue
Combinando com
, tem-se
.
Passo 6
Os calores específicos são
Logo a razão
Resposta
Volume de fase:
Entropia (para
):
Temperatura:
Equação de estado:
Razão de calores específicos: