Considere um sistema que está a uma pressão de 1050,09 \mathrm{mmHg}, e a uma temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}. Calcule os coeficientes de transferência de massa,nas unidades solicitadas, a partir dos valores dados, preenchendo a tabela a seguir.
valores a serem calculados
Valores dados de k \mathrm{kg}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{~atm}\right) \mathrm{kg}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{~Pa}\right) \mathrm{kc}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) \mathrm{ky}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{fmolar}\right) { }^{* * *}
\mathbf{k y}\left(\mathbf{m o l} / \mathbf{m}^{\wedge} \mathbf{2}^{*} \mathbf{s}^{*} \mathbf{f m o l a r}\right) \mathbf{0 , 0 7 1 3}
\mathbf{k g}\left(\mathbf{m o l} / \mathbf{m}^{\wedge} \mathbf{2}^{*} \mathbf{s}^{*} \mathbf{a t m}\right) \mathbf{0 , 0 3 2 1} * * *
\mathbf{k c}(\mathbf{m} / \mathbf{s}) \mathbf{0 , 0 0 0 9} * * *
Table 1: Resposta
\captionsetup{labelformat=empty}
valores a serem calculados
Valores dados de \mathbf{k} \mathrm{kg}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{~atm}\right) \mathrm{kg}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{~Pa}\right) \mathrm{kc}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) \mathrm{ky}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{\wedge} 2^{*} \mathrm{~s}^{*} \mathrm{fmolar}\right)
\mathbf{k y}\left(\mathbf{m o l} / \mathbf{m}^{\wedge} \mathbf{2}^{*} \mathbf{s}^{*} \mathbf{f m o l a r}\right) \mathbf{0 , 0 7 1 3} 5,16 \mathrm{E}-02 5,09 \mathrm{E}-07 1,41 \mathrm{E}-03 { }^{* * *}
\mathbf{k g}\left(\mathbf{m o l} / \mathbf{m}^{\wedge} \mathbf{2}^{*} \mathbf{s}^{*} \mathbf{a t m}\right) \mathbf{0 , 0 3 2 1} * * * 3,17 \mathrm{E}-07 8,78 \mathrm{E}-04 4,44 \mathrm{E}-02
\mathbf{k c}(\mathbf{m} / \mathbf{s}) \mathbf{0 , 0 0 0 9} 3,29 \mathrm{E}-02 3,25 \mathrm{E}-07 * * * 4,55 \mathrm{E}-02

Passo 1

O enunciado pede para calcular coeficientes de transferência de massa entre as unidades listadas, a partir dos valores fornecidos, à pressão total de 1050{,}09\\ \mathrm{mmHg} e temperatura de 60^\circ\mathrm{C}. Informações relevantes dadas:
  • Pressão total: P_{\text{tot}} = 1050{,}09\\ \mathrm{mmHg}.
  • Temperatura: T = 60^\circ\mathrm{C}.
  • Valores de coeficiente fornecidos:
    • k_y = 0{,}0713 com unidade \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fmolar}) (ou seja, por diferença em fração molar).
    • k_g = 0{,}0321 com unidade \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}).
    • k_c = 0{,}0009 com unidade \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Unidades que precisamos fornecer (para cada linha): k_g em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}), k_g em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{Pa}), k_c em \mathrm{m}/\mathrm{s} e k_y em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fmolar}).
  • Constantes necessárias a usar: relação entre pressão em atm e Pa 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} e constante dos gases ideais adequada às unidades usadas. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Relação física e fórmulas de conversão (explicação didática).
  • Definição física: o fluxo molar N pode ser escrito, conforme a variável de diferença usada: N = k_c\,\Delta c = k_y\,\Delta y = k_g\,\Delta p,onde:
    • \Delta c é diferença de concentração em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3,
    • \Delta y é diferença de fração molar (adimensional),
    • \Delta p é diferença de pressão parcial (em \mathrm{atm} ou \mathrm{Pa}, conforme a unidade do k_g),
    • k_c tem unidades \mathrm{m}/\mathrm{s} (pois multiplica concentração para dar fluxo),
    • k_y tem unidades \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fração molar})çã,
    • k_g pode ter unidades por \mathrm{atm} ou por \mathrm{Pa}.
  • Relação entre concentração, pressão parcial e fração molar (Lei dos gases ideais, para gás ideal): c = \frac{p}{R\,T},\qquad p = y\,P_{\text{tot}},onde:
    • c é concentração (mol/m³),
    • p é pressão parcial do componente (na mesma unidade usada para k_g),
    • y é fração molar (adimensional),
    • P_{\text{tot}} é pressão total,
    • R é constante dos gases adequada às unidades (ver passo seguinte),
    • T é temperatura absoluta em Kelvin.
  • A partir das igualdades de N e das relações acima obtemos as fórmulas de conversão entre coeficientes: k_y = k_g\;P_{\text{tot}},
k_c = k_g\;R\,T,
k_g = \frac{k_y}{P_{\text{tot}}} = \frac{k_c}{R\,T},
k_y = k_c\;\frac{P_{\text{tot}}}{R\,T}.
Essas fórmulas vêm diretamente de igualar k_c\Delta c = k_y\Delta y = k_g\Delta p e substituir c e p por y e P_{\text{tot}} usando a lei dos gases ideais.

Passo 3

Converter pressão e temperatura para as unidades usadas nas fórmulas e escolher R.
  • Converter temperatura para Kelvin: T = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão total de \mathrm{mmHg} para \mathrm{atm}: P_{\text{tot}} = \frac{1050{,}09\\ \mathrm{mmHg}}{760\\ \mathrm{mmHg}/\mathrm{atm}} = 1{,}38171\\ \mathrm{atm}\quad(\text{aprox.}).(Usei a relação 760\\ \mathrm{mmHg}=1\\ \mathrm{atm}.)
  • Constante dos gases na forma \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}): R = 8{,}205746\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
  • Calcular R\,T (valor que aparece nas fórmulas): R\,T = \left(8{,}205746\times10^{-5}\right)\cdot333{,}15 \approx 0{,}027342\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}).Observação: R\,T tem unidades tais que multiplicado por k_g em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}) resulta em \mathrm{m}/\mathrm{s}, compatível com k_c.

Passo 4

Cálculos a partir de k_y = 0{,}0713\\ \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fmolar}).
  • Calcular k_g em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}) usando k_g = k_y / P_{\text{tot}}: k_g = \frac{0{,}0713}{1{,}38171} \approx 0{,}0516 = 5{,}16\times10^{-2}.Interpretação: sendo k_y por unidade de fração molar, para transformá-lo em por unidade de pressão (atm) dividimos pela pressão total em atm.
  • Converter k_g de por \mathrm{atm} para por \mathrm{Pa}: como \Delta p(\mathrm{Pa}) = 101325\cdot\Delta p(\mathrm{atm}), tem-se k_{g,\mathrm{Pa}} = \frac{k_{g,\mathrm{atm}}}{101325} = \frac{5{,}16\times10^{-2}}{101325} \approx 5{,}09\times10^{-7}.
  • Calcular k_c usando k_c = k_g\;R\,T: k_c = 5{,}16\times10^{-2}\cdot0{,}027342 \approx 1{,}41\times10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Resumo (para a linha com k_y dada): os valores convertidos são k_g=5{,}16\times10^{-2}, k_g(\mathrm{Pa})=5{,}09\times10^{-7}, k_c=1{,}41\times10^{-3}. O k_y dado permanece 0{,}0713.

Passo 5

Cálculos a partir de k_g = 0{,}0321\\ \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}).
  • Converter k_g para por \mathrm{Pa}: k_{g,\mathrm{Pa}} = \frac{0{,}0321}{101325} \approx 3{,}17\times10^{-7}.
  • Calcular k_c por k_c = k_g\;R\,T: k_c = 0{,}0321\cdot0{,}027342 \approx 8{,}78\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Calcular k_y por k_y = k_g\;P_{\text{tot}}: k_y = 0{,}0321\cdot1{,}38171 \approx 4{,}44\times10^{-2}.
  • Resumo (para a linha com k_g dada): k_g(\mathrm{atm})=0{,}0321 (dado), k_g(\mathrm{Pa})=3{,}17\times10^{-7}, k_c=8{,}78\times10^{-4}, k_y=4{,}44\times10^{-2}.

Passo 6

Cálculos a partir de k_c = 0{,}0009\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Calcular k_g em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm}) por k_g = k_c/(R\,T): k_g = \frac{0{,}0009}{0{,}027342} \approx 3{,}29\times10^{-2}.
  • Converter esse k_g para por \mathrm{Pa}: k_{g,\mathrm{Pa}} = \frac{3{,}29\times10^{-2}}{101325} \approx 3{,}25\times10^{-7}.
  • Calcular k_y por k_y = k_c\;\dfrac{P_{\text{tot}}}{R\,T} (ou simplesmente k_y = k_g\;P_{\text{tot}}): k_y = 0{,}0009\cdot\frac{1{,}38171}{0{,}027342} \approx 4{,}55\times10^{-2}.
  • Resumo (para a linha com k_c dado): k_g(\mathrm{atm})=3{,}29\times10^{-2}, k_g(\mathrm{Pa})=3{,}25\times10^{-7}, k_c=0{,}0009, k_y=4{,}55\times10^{-2}.

Passo 7

Checagem rápida e conselho prático para a prova:
  • Verifique sempre as unidades usadas em R e em k_g (se é por \mathrm{atm} ou por \mathrm{Pa}). Um erro comum é misturar \mathrm{atm} com \mathrm{Pa} sem fazer a conversão de 101325.
  • As fórmulas chave para memorizar (úteis na prova) são: k_y = k_g\,P_{\text{tot}},\qquad k_c = k_g\,R\,T,\qquad k_g=\frac{k_y}{P_{\text{tot}}}=\frac{k_c}{R\,T}.
  • Se lembrar delas e sempre converter P e T para as unidades compatíveis com R, os cálculos ficam diretos e rápidos. Força aí — você consegue!

Resposta

Para k_y=0{,}0713: k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm})=5{,}16\times10^{-2}, k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{Pa})=5{,}09\times10^{-7}, k_c(\mathrm{m}/\mathrm{s})=1{,}41\times10^{-3}, k_y=0{,}0713.\n
Para k_g=0{,}0321: k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm})=0{,}0321, k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{Pa})=3{,}17\times10^{-7}, k_c(\mathrm{m}/\mathrm{s})=8{,}78\times10^{-4}, k_y(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fmolar})=4{,}44\times10^{-2}.\n
Para k_c=0{,}0009: k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{atm})=3{,}29\times10^{-2}, k_g(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{Pa})=3{,}25\times10^{-7}, k_c(\mathrm{m}/\mathrm{s})=0{,}0009, k_y(\mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}\cdot\text{fmolar})=4{,}55\times10^{-2}.

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