Considere o sistema com a seguinte função de transferência:
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
Verifique se esse sistema é estável de acordo com o critério BIBO. Se não for, encontre uma entrada limitada ( x[n] ) que torna ( y[n] ) ilimitada.
Obtendo os valores numericamente (por exemplo, usando um loop for), obtenha as saídas para x[n]=u[n], x[n]=\cos (0.05 \pi n) ) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos (0.05 \pi n)). Faz sentido essas saídas?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
e pede: (a) verificar se o sistema é estável no sentido BIBO; (b) se não for, apresentar uma entrada limitada x[n] que gere uma saída y[n] ilimitada; (c) obter numericamente as saídas para as entradas x[n]=u[n], x[n]=\cos(0{,}05\pi n) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)) e comentar se os resultados fazem sentido.
Informações relevantes dadas no enunciado:
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
As entradas pedidas são x[n]=u[n], x[n]=\cos(0{,}05\pi n) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)).
Queremos verificar estabilidade BIBO; para isso precisaremos do impulso resposta h[n] e da condição de somabilidade absoluta de h[n].
Passo 2
Encontrar o impulso resposta h[n] a partir de H_{A}(z). Lembrete rápido (passo didático): a transformada Z de uma sequência h[n] é
H(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\,z^{-n}.
Para inverter H(z)=\dfrac{1}{1-z^{-1}} usamos a série geométrica. A identidade básica é, para |a|<1,
\frac{1}{1-a}=\sum_{k=0}^{\infty} a^{k}.
Aqui podemos tomar a=z^{-1}. Se quisermos a expansão em potências de z^{-1} válida para |z^{-1}|<1, isto é, |z|>1, então
\frac{1}{1-z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{-n}.
Comparando com a definição da transformada Z, obtemos, para o ROC causal |z|>1,
(Se alguém escolher o ROC interior |z|<1 obteria uma sequência anti-causal diferente, mas que também não é absolutamente somável; vou prosseguir com o caso causal, que é o mais usado em exercícios.)
Passo 3
Aplicar o critério BIBO. Regra importante (didática): um sistema LTI discreto é BIBO estável se e somente se a sua resposta ao impulso h[n] for absolutamente somável:
Portanto h[n] não é absolutamente somável, e o sistema NÃO é BIBO estável.
Passo 4
Exibir explicitamente uma entrada limitada que gera saída ilimitada. Ideia física/intuitiva: H_A é um acumulador (integrador discreto) porque h[n]=1 para n\ge0. A convolução causal dá
onde no último passo fizemos a troca de índice m=n-k. Essa forma é válida para condição inicial em repouso (sistema causal).
Escolha a entrada limitada x[n]=u[n]. Observação: u[n] é limitada porque |u[n]|\le 1 para todo n. Calcule y[n]:
y[n]=\sum_{m=0}^{n} u[m]=\sum_{m=0}^{n} 1 = n+1.
Claramente y[n]\to\infty quando n\to\infty. Assim demos um exemplo explícito de entrada limitada que produz saída ilimitada, provando na prática que o sistema é instável no sentido BIBO.
Passo 5
Intuição geral e caso constante: se x[n]=c (constante limitada), então
y[n]=\sum_{m=0}^{n} c=c\,(n+1),
portanto qualquer componente DC (média não nula) na entrada causa um crescimento linear na saída. Em termos de frequência, o pólo em z=1 indica ganho infinito para componentes DC; por isso o acumulador diverge sobre sinais com componente DC.
Passo 6
Como obter numericamente as saídas (receita prática). Para implementação numérica simples (por exemplo, em MATLAB/Python), use a recursão direta decorrente da soma acumulada:
y[n]=y[n-1]+x[n],\qquad y[-1]=0.
Isso evita fazer convolução completa e é exato para o acumulador.
Vou agora descrever/mostrar o comportamento para cada uma das três entradas pedidas, com fórmulas e comentários; isso é o que obteríamos numericamente usando o loop for acima.
Como \omega=0{,}05\pi é um múltiplo racional de \pi (período T=\tfrac{2\pi}{\omega}=40), essa soma é limitada: existe uma constante M tal que |y[n]|\le M para todo n. Portanto numericamente você verá uma sequência oscilante com amplitude limitada (não cresce para infinito). Por exemplo, usando a fórmula do denominador, uma cota grosseira é
ou seja, valores da ordem de poucas unidades — consistentemente limitados.
Para x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)). Essa sequência é uma onda quadrada periódica de período 40 (pois \cos(0{,}05\pi n) tem período 40); em cada período há 20 valores +1 e 20 valores -1, logo a média por período é zero. Assim a soma acumulada sobre períodos inteiros zera. Numericamente, y[n] será uma “escada” periódica limitada: dentro de cada meia-período a soma sobe até +20 e na próxima meia-período desce até 0 ou -20 dependendo do instante inicial, mas não cresce ilimitadamente. Exemplos numéricos iniciais: y[0]=1,\;y[1]=2,\;\dots,\;y[19]=20,\;y[20]=19,\dots e assim por diante, sempre permanecendo com amplitude no intervalo aproximadamente [-20,20].
Passo 7
Comentário final sobre se os resultados fazem sentido: sim, fazem. O pólo em z=1 representa um acumulador de componentes DC; assim qualquer entrada com componente DC não nulo (por exemplo u[n] ou uma constante) produz saída que cresce sem limite. Entradas puramente oscilatórias com média zero (como \cos(0{,}05\pi n) e a onda quadrada \operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n))) não têm componente DC e, portanto, quando acumuladas produzem sequências limitadas (embora possivelmente não convergentes, apenas oscilatórias ou periódicas). Isso coincide com o que se obtém numericamente pela recursão y[n]=y[n-1]+x[n].
Resposta
O sistema NÃO é BIBO estável.
Uma entrada limitada que gera saída ilimitada é x[n]=u[n]; para ela
que é LIMITADA (oscilações de amplitude da ordem de poucas unidades).
Para x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)) a saída é uma escada periódica limitada (amplitude aproximadamente em [-20,20]), portanto também limitada.