Considere o sistema com a seguinte função de transferência:
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
Verifique se esse sistema é estável de acordo com o critério BIBO. Se não for, encontre uma entrada limitada ( x[n] ) que torna ( y[n] ) ilimitada.
Obtendo os valores numericamente (por exemplo, usando um loop for), obtenha as saídas para x[n]=u[n], x[n]=\cos (0.05 \pi n) ) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos (0.05 \pi n)). Faz sentido essas saídas?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
e pede: (a) verificar se o sistema é estável no sentido BIBO; (b) se não for, apresentar uma entrada limitada x[n] que gere uma saída y[n] ilimitada; (c) obter numericamente as saídas para as entradas x[n]=u[n], x[n]=\cos(0{,}05\pi n) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)) e comentar se os resultados fazem sentido.
Informações relevantes dadas no enunciado:
H_{A}(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}
As entradas pedidas são x[n]=u[n], x[n]=\cos(0{,}05\pi n) e x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)).
Queremos verificar estabilidade BIBO; para isso precisaremos do impulso resposta h[n] e da condição de somabilidade absoluta de h[n].

Passo 2

Encontrar o impulso resposta h[n] a partir de H_{A}(z). Lembrete rápido (passo didático): a transformada Z de uma sequência h[n] é
H(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\,z^{-n}.
Para inverter H(z)=\dfrac{1}{1-z^{-1}} usamos a série geométrica. A identidade básica é, para |a|<1,
\frac{1}{1-a}=\sum_{k=0}^{\infty} a^{k}.
Aqui podemos tomar a=z^{-1}. Se quisermos a expansão em potências de z^{-1} válida para |z^{-1}|<1, isto é, |z|>1, então
\frac{1}{1-z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{-n}.
Comparando com a definição da transformada Z, obtemos, para o ROC causal |z|>1,
h[n]=1\quad\text{para }n\ge 0,\qquad h[n]=0\quad\text{para }n<0,
ou seja
h[n]=u[n].
(Se alguém escolher o ROC interior |z|<1 obteria uma sequência anti-causal diferente, mas que também não é absolutamente somável; vou prosseguir com o caso causal, que é o mais usado em exercícios.)

Passo 3

Aplicar o critério BIBO. Regra importante (didática): um sistema LTI discreto é BIBO estável se e somente se a sua resposta ao impulso h[n] for absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
No nosso caso, com h[n]=u[n],
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty} 1=\infty.
Portanto h[n] não é absolutamente somável, e o sistema NÃO é BIBO estável.

Passo 4

Exibir explicitamente uma entrada limitada que gera saída ilimitada. Ideia física/intuitiva: H_A é um acumulador (integrador discreto) porque h[n]=1 para n\ge0. A convolução causal dá
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k]=\sum_{k=0}^{n} x[n-k]=\sum_{m=0}^{n} x[m],
onde no último passo fizemos a troca de índice m=n-k. Essa forma é válida para condição inicial em repouso (sistema causal).
Escolha a entrada limitada x[n]=u[n]. Observação: u[n] é limitada porque |u[n]|\le 1 para todo n. Calcule y[n]:
y[n]=\sum_{m=0}^{n} u[m]=\sum_{m=0}^{n} 1 = n+1.
Claramente y[n]\to\infty quando n\to\infty. Assim demos um exemplo explícito de entrada limitada que produz saída ilimitada, provando na prática que o sistema é instável no sentido BIBO.

Passo 5

Intuição geral e caso constante: se x[n]=c (constante limitada), então
y[n]=\sum_{m=0}^{n} c=c\,(n+1),
portanto qualquer componente DC (média não nula) na entrada causa um crescimento linear na saída. Em termos de frequência, o pólo em z=1 indica ganho infinito para componentes DC; por isso o acumulador diverge sobre sinais com componente DC.

Passo 6

Como obter numericamente as saídas (receita prática). Para implementação numérica simples (por exemplo, em MATLAB/Python), use a recursão direta decorrente da soma acumulada:
y[n]=y[n-1]+x[n],\qquad y[-1]=0.
Isso evita fazer convolução completa e é exato para o acumulador.
Vou agora descrever/mostrar o comportamento para cada uma das três entradas pedidas, com fórmulas e comentários; isso é o que obteríamos numericamente usando o loop for acima.
Para x[n]=u[n]:
y[n]=n+1\quad\Rightarrow\quad y[0]=1,\; y[1]=2,\; y[2]=3,\;\dots
crescimento linear sem limite.
Para x[n]=\cos(0{,}05\pi n). Defina \omega=0{,}05\pi. Usando soma de progressão geométrica complexa (aula rápida):
\sum_{k=0}^{n} \cos(\omega k)=\Re\!\left(\sum_{k=0}^{n} e^{j\omega k}\right)=\Re\!\left(\frac{1-e^{j\omega (n+1)}}{1-e^{j\omega}}\right).
Uma forma real equivalente (fórmula conhecida de soma de cossenos) é
\sum_{k=0}^{n}\cos(\omega k)=\frac{\sin\!\big(\tfrac{(n+1)\omega}{2}\big)\,\cos\!\big(\tfrac{n\omega}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}.
Como \omega=0{,}05\pi é um múltiplo racional de \pi (período T=\tfrac{2\pi}{\omega}=40), essa soma é limitada: existe uma constante M tal que |y[n]|\le M para todo n. Portanto numericamente você verá uma sequência oscilante com amplitude limitada (não cresce para infinito). Por exemplo, usando a fórmula do denominador, uma cota grosseira é
|y[n]|\le \frac{1}{\big|2\sin(\tfrac{\omega}{2})\big|}\approx\frac{1}{2\sin(0{,}025\pi)}\approx 6{,}4,
ou seja, valores da ordem de poucas unidades — consistentemente limitados.
Para x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)). Essa sequência é uma onda quadrada periódica de período 40 (pois \cos(0{,}05\pi n) tem período 40); em cada período há 20 valores +1 e 20 valores -1, logo a média por período é zero. Assim a soma acumulada sobre períodos inteiros zera. Numericamente, y[n] será uma “escada” periódica limitada: dentro de cada meia-período a soma sobe até +20 e na próxima meia-período desce até 0 ou -20 dependendo do instante inicial, mas não cresce ilimitadamente. Exemplos numéricos iniciais: y[0]=1,\;y[1]=2,\;\dots,\;y[19]=20,\;y[20]=19,\dots e assim por diante, sempre permanecendo com amplitude no intervalo aproximadamente [-20,20].

Passo 7

Comentário final sobre se os resultados fazem sentido: sim, fazem. O pólo em z=1 representa um acumulador de componentes DC; assim qualquer entrada com componente DC não nulo (por exemplo u[n] ou uma constante) produz saída que cresce sem limite. Entradas puramente oscilatórias com média zero (como \cos(0{,}05\pi n) e a onda quadrada \operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n))) não têm componente DC e, portanto, quando acumuladas produzem sequências limitadas (embora possivelmente não convergentes, apenas oscilatórias ou periódicas). Isso coincide com o que se obtém numericamente pela recursão y[n]=y[n-1]+x[n].

Resposta

O sistema NÃO é BIBO estável.
Uma entrada limitada que gera saída ilimitada é x[n]=u[n]; para ela
y[n]=n+1\quad(\text{logo }y[n]\to\infty).
Para x[n]=\cos(0{,}05\pi n):
y[n]=\sum_{k=0}^{n}\cos(0{,}05\pi k)=\frac{\sin\!\big(\tfrac{(n+1)0{,}05\pi}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{n0{,}05\pi}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{0{,}05\pi}{2}\big)},
que é LIMITADA (oscilações de amplitude da ordem de poucas unidades).
Para x[n]=\operatorname{sgn}(\cos(0{,}05\pi n)) a saída é uma escada periódica limitada (amplitude aproximadamente em [-20,20]), portanto também limitada.

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