Considere o sistema e os vetores coluna
(b) Forme uma matriz fundamental
e calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares representado por:
E nos são fornecidas duas soluções vetoriais do sistema:
O conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares e matrizes fundamentais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como construir uma matriz fundamental a partir das soluções fornecidas e como calcular a sua inversa.
Passo 2
Uma matriz fundamental
de um sistema de equações diferenciais é formada por colocar as soluções vetoriais do sistema como colunas. Isso significa que, se temos duas soluções linearmente independentes, podemos criar
da seguinte maneira:
Substituindo as soluções fornecidas:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a inversa dessa matriz fundamental,
. Para isso, vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Aplicando essa fórmula à nossa matriz
:
- a =
- b =
- c =
- d =
Primeiro, calculamos o determinante
:
Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
Resposta
A matriz fundamental é
e a sua inversa é